· отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.
· конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
· любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.
· конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
рис. 1.
на рисунке из точки а проведены к плоскости α перпендикуляр ав и наклонная ас. точка в - основание перпендикуляра, точка с - основание наклонной, вс - проекция наклонной ас на плоскость α.
2) доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной
на рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней ao, наклонная ab, а также показан отрезок bo, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. отрезки ao, bo и ab образуют δaob.
рис. 2.
рассмотрим δaob, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. перпендикуляр ao является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.
3) определение проекции
отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
отрезок bo на рисунке 2 – является проекцией наклонной ab.
4) теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций
а) любая наклонная больше своей проекции.
доказательство:
вновь рассмотрим δaob, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. проекция bo является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой, т. к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.
б) равные наклонные имеют равные проекции
доказательство: рассмотрим треугольники aob и aod, они равны, т. к. равны их гипотенузы ab и ad, и углы aob и aod (они прямые), а сторона ao у них общая. из равенства треугольников следует и равенство их сторон bo = od, что и требовалось доказать.
в) если проекции наклонных равны, то и наклонные равны. доказывается аналогично утверждению б.
г) большей наклонной соответствует большая проекция.
доказательство:
рассмотрим прямоугольные треугольники aob и aod, ab > ad.
=
=
но так как ab > ad => ab2 > ad2 => > =>
=> bo > do. что и требовалось доказать.
д) из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. доказывается аналогично г.
7 см
Объяснение:
В любом треугольнике одна из сторон всегда меньше суммы двух других сторон.
1) Пусть основание АС треугольника АВС равно 7 см, а боковые стороны АВ = ВС = 3 см.
Проверим, существует такой треугольник или нет:
АВ + ВС = 3 + 3 = 6 см
Так как сумма длин двух сторон АВ и ВС меньше длины третьей стороны (6<7), то такой треугольник не существует.
2) Пусть основание АС треугольника АВС равно 3 см, а боковые стороны АВ = ВС = 7 см.
Проверим, существует такой треугольник или нет:
АВ + ВС = 7 + 7 = 14 см
Так как сумма длин двух сторон АВ и ВС больше длины третьей стороны (14>3), то такой треугольник существует.
Значит, третья сторона данного равнобедренного треугольника равна 7 см.
ответ: 7 см
1) определение перпендикуляра и наклонной.
пусть дана плоскость и не лежащая на ней точка.
тогда:
· отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.
· конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
· любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.
· конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
рис. 1.
на рисунке из точки а проведены к плоскости α перпендикуляр ав и наклонная ас. точка в - основание перпендикуляра, точка с - основание наклонной, вс - проекция наклонной ас на плоскость α.
2) доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной
на рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней ao, наклонная ab, а также показан отрезок bo, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. отрезки ao, bo и ab образуют δaob.
рис. 2.
рассмотрим δaob, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. перпендикуляр ao является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.
3) определение проекции
отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
отрезок bo на рисунке 2 – является проекцией наклонной ab.
4) теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций
а) любая наклонная больше своей проекции.
доказательство:
вновь рассмотрим δaob, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. проекция bo является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой, т. к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.
б) равные наклонные имеют равные проекции
доказательство: рассмотрим треугольники aob и aod, они равны, т. к. равны их гипотенузы ab и ad, и углы aob и aod (они прямые), а сторона ao у них общая. из равенства треугольников следует и равенство их сторон bo = od, что и требовалось доказать.
в) если проекции наклонных равны, то и наклонные равны. доказывается аналогично утверждению б.
г) большей наклонной соответствует большая проекция.
доказательство:
рассмотрим прямоугольные треугольники aob и aod, ab > ad.
=
=
но так как ab > ad => ab2 > ad2 => > =>
=> bo > do. что и требовалось доказать.
д) из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. доказывается аналогично г.