4. Премая CD параллельна к AB и пересекает yгол BOA так, что O,D,В лежат на одной прямой, но и О,С,А лежат на одной прямой. Если ОА =6 АС=3 и ВD=1 найдите длину ОD​

В такой форме записи это выглядит очень неудобно.
Пусть вписанная в ABC окружность касается сторон BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Противоположные стороны я обозначу одноименными маленькими буквами, то есть BC = a; AB = b; AB = c;
Кроме того, я обозначу AB1 = AC1 = x; BC1 = BA1 = y; CA1 = CB1 = z;
Тогда
x + y = c;
y + z = a;
x + z = b;
x - y = b - a;
2*x = c + b - a;
то есть AC1 = AB1 = (AB + AC - BC)/2; что и требовалось доказать.


Курсив можно не читать.
Выражение x = (c + b - a)/2; можно переписать в такой форме.
Пусть p = (a + b + c)/2; p - ПОЛУпериметр.
тогда x = p - a; и, аналогично, y = p - b; z = p - c;
формула Герона записывается, как S^2 = p*x*y*z;

Пусть вписанная в треугольник ABC окружность с центром О касается сторон AB, BC, AC в точках N, K, M соответственно, а касательная в точке F пересекает AB и BC в точках R и T соответственно. Тогда, очевидно, MFTC - равнобочная трапеция (MF||TC, ∠FMC=90°+∠FMO, ∠MFT=90°+∠MFO, причем ∠FMO=∠MFO, поэтому ∠MFT=∠FMC). Значит, TK=FT=MC=KC=AM=AN (из свойств отрезков касательной, равнобочности трапеции MFTC и равнобедренности треугольника ABC). Кроме того, NR=RF. Итак, AC=TC, AR=RT, т.е. треугольники ACR и TCR равны, откуда CR - биссектриса ∠ACB.  Т.к. биссектриса единственна, то все доказано.