4. Дана окружность и две точки А и В, лежащие вне ее. Как построить точку С на окружности, чтобы угол АСВ был равен 90°? Сколько может быть таких точек? ANOTRE DHARE MATEMAATMINECKAR DEPTUKAI-TEOMETPAKITA
a) Докажите, что KM перпендикулярно AC. Проведём секущую плоскость через точку К перпендикулярно грани АА1С1С. Так как точка К - это середина А1В1, то эта плоскость пересечёт сторону АС в половине её половины, то есть отсечёт (1/4) АС и это как раз точка М, которая делит ребро AC в отношении AM:MC = 1:3. А любая прямая, в том числе и КМ, лежащая в плоскости, перпендикулярной АС, будет перпендикулярна АС. Условие доказано.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=6, AC=8 и AA1 =3. Чтобы определить этот угол, надо найти плоский угол, а для этого надо спроецировать отрезок КМ на плоскость АВВ1. Пусть проекция точки М на эту плоскость - точка М1. ММ1 ⊥ АВ. Проекция точки К на АВ - точка К1. Определяем параметры отрезков на основании АВС. Высота из точки В на АС - это ВД. ВД = √(АВ²-(АС/2)²) = √(6²-(8/2)²) = √(36-16) = √20 = 2√5. Из подобия треугольников К1М = (1/2)ВД = √5. Отрезок: КМ = √((К1М)²+(КК1)²) = √(5+9) = √14. К1М1 = К1М*cos(B/2) = √5*(2√5/6) = 5/3. КМ1 = √((К1М1)²+(КК1)²) = √((25/9)+9) = √106/3. Отсюда определяем косинус искомого угла: cos(M1KM) = KM1/KM = (√106/3)/√14 ≈ 0,917208. Отсюда угол между отрезком КМ и плоскостью АВВ1 равен 0,409782 радиан или 23,47879°.
ответ: угол между прямой KM и плоскостью ABB1 равен 23,47879°.
Точка О2 - центр вписанной окружности в тр-ник АВС. Точка О1 - центр заданной окружности. Около тр-ка АВС опишем окружность. АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов. Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К. ∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2. ∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине. Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный. КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности. Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают. О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности. Доказано.
Проведём секущую плоскость через точку К перпендикулярно грани АА1С1С.
Так как точка К - это середина А1В1, то эта плоскость пересечёт сторону АС в половине её половины, то есть отсечёт (1/4) АС и это как раз точка М, которая делит ребро AC в отношении AM:MC = 1:3.
А любая прямая, в том числе и КМ, лежащая в плоскости, перпендикулярной АС, будет перпендикулярна АС.
Условие доказано.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=6, AC=8 и AA1 =3.
Чтобы определить этот угол, надо найти плоский угол, а для этого надо спроецировать отрезок КМ на плоскость АВВ1.
Пусть проекция точки М на эту плоскость - точка М1. ММ1 ⊥ АВ.
Проекция точки К на АВ - точка К1.
Определяем параметры отрезков на основании АВС.
Высота из точки В на АС - это ВД.
ВД = √(АВ²-(АС/2)²) = √(6²-(8/2)²) = √(36-16) = √20 = 2√5.
Из подобия треугольников К1М = (1/2)ВД = √5.
Отрезок: КМ = √((К1М)²+(КК1)²) = √(5+9) = √14.
К1М1 = К1М*cos(B/2) = √5*(2√5/6) = 5/3.
КМ1 = √((К1М1)²+(КК1)²) = √((25/9)+9) = √106/3.
Отсюда определяем косинус искомого угла:
cos(M1KM) = KM1/KM = (√106/3)/√14 ≈ 0,917208.
Отсюда угол между отрезком КМ и плоскостью АВВ1 равен 0,409782 радиан или 23,47879°.
ответ: угол между прямой KM и плоскостью ABB1 равен 23,47879°.
Около тр-ка АВС опишем окружность.
АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов.
Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К.
∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2.
∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине.
Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный.
КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности.
Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают.
О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности.
Доказано.