4. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О. Сторона BC і діагоналі AC і BD складають відповідно 6, 8 та 5 см (див. малюнок). Знайдіть периметр трикутника BCO. Користуйтесь власністю
діагональ паралелограм для розв’язування.
5. Сума двох кутів ромба дорівнює 270. Знайдіть розмір у градусах кожного з них
кути.
6. Сторона CD паралелограма ABCD дорівнює 11,3 см. Знайдіть сторону АВ. Аргументуйте відповідь,
7. Сторона AB ромба ABCD утворює кути з діагоналями AC і BD відповідно 35 ° і 55. Знайдіть
кути ромба.
8. Тюльпани паралелограма повідомляються як 3: 5. і його периметр дорівнює 32 см. Знайдіть сторони
паралелограм
9. З одного кінця прямокутника його опускають перпендикулярно до діагоналі. Основа перпендикуляра
розділити цю діагональ на відрізки. з яких найменший - 2 см. Кут між
перпендикуляр і менша сторона прямокутника дорівнює 30 °. Обчисліть довжину меншої сторони a
довжина прямокутника та діагоналі.
10. На продовженні діагоналі AC паралелограма ABCD відкладено два рівні відрізки AM і CN.
Доведіть, що BNDM - паралелограм.
МА = 12 - расстояние от М до α,
МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С.
МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а.
МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а.
Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒
а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла;
а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
МАСВ - прямоугольник, АС = МВ = 16.
Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора:
МС = √(МА² + АС²) = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20
Во-вторых, она должна быть 4-угольной, потому что 4 угла куба не могут лежать на трех апофемах треугольной пирамиды.
Значит, считаем, что это 4-угольная правильная пирамида.
В основании квадрат. В пирамиду вписан куб так, что 4 нижних вершины лежат на основании, а 4 верхних на апофемах (высоты боковых граней).
Я сделал рисунок. Там много линий, и чтобы разобраться, я нарисовал апофемы красным, куб синим, а высоту пирамиды жирным черным.
Нижние вершины куба лежат на средних линиях основания KM и LN.
Справа я нарисовал сечение пирамиды плоскостью SLN.
В сечении будет равнобедренный треугольник, а в него вписан прямоугольник PRR1P1, у которого высота PP1 = RR1 = x - стороне куба,
а основание PR = P1R1 = x√2 - диагонали грани куба.
Теперь решаем задачу.
Сторона основания пирамиды а, диагональ AC = BD = a√2,
OC = a√2/2, угол наклона бокового ребра α.
В треугольнике AOS катет OS=H=AO*tg α=a*√2/2*tg α.
В треугольнике LOS катет OL = a/2, по теореме Пифагора
SL^2 = OL^2 + OS^2 = a^2/4 + a^2/2*tg α = a^2/4*(1 + 2tg α)
SL = a/2*√(1 + 2tg α)
Угол наклона апофемы к плоскости основания OLS = β:
tg β = OS/OL = (a*√2/2*tg α) : (a/2) = √2*tg α
В треугольнике RR1L катет
RL = RR1/tg β = x/(√2*tg α) = x√2/(2tg α)
Но мы знаем, что PR = x√2 и NP = RL. Получаем
NL = NP + PR + RL
a = 2*x√2/(2tg α) + x√2 = x√2/tg α + x√2