4. Бічна сторона трапеції, що дорівнює 16 см, утворює з більшою
основою кут 60. Знайти периметр трапеції, якщо менша основа
дорівнює 10 см, а друга бічна сторона - 9 см

M=4 дм - апофема усечённой пирамиды.
Пусть сторона большего основания равна а, тогда сторона меньшего а/3.
Сумма площадей оснований: Sосн=а²+(а/3)²=10а²/9.
Площадь боковой поверхности усеч. пирамиды: Sбок=0.5(а+а/3)·m·4=32а/3.
Площадь полной поверхности усеч. пирамиды: S=(10а²/9)+(32а/3)=186 ⇒⇒
5а²+48а-837=0
а1=-93/5 - отрицательное значение не подходит.
а2=9.
Рассмотрим прямоугольный тр-ник, образованный апофемой (m), высотой проведённой из вершины к основанию (h)и отрезком основания их соединяющим. Этот отрезок равен половине разности оснований пирамиды: b=(а-а/3)/2=(9-9/3)/2=3 дм.
h²=m²-b²=4²-3²=7
h=√7 дм.
ответ: высота усечённой пирамиды равна √7 дм.

Мы касаемся в этой задаче очень интересного круга задач, связанных с треугольником, у которого один из углов равен 60°. Оказывается, у такого треугольника (хотя в этой задаче это и не потребуется), центр описанной окружности, центр вписанной окружности, ортоцентр (то есть точка пересечения высот), а также две вершины лежат на одной окружности, которая получается из описанной симметрией относительно стороны треугольника. 

Возвращаемся к нашей задаче. Вспоминаем формулу, по которой ищется угол между биссектрисами двух углов треугольника. Он равен 90°+ половина третьего угла (доказывается это очень просто, если Вы знаете, чему равна сумма углов треугольника, Вы с этой задачей справитесь). В нашем случае угол между биссектрисами AA_1 и BB_1 будет равен 90+30=120°. Замечаем, что ∠A_1HB_1+∠C=180° ⇒ вокруг четырехугольника CA_1HB_1 можно описать окружность.  Остается вспомнить, что биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке ⇒CH делит угол A_1CB_1 пополам, а тогда дуги, на которые опираются эти половинки, равны, а тогда и хорды A_1H и B_1H равны, что и требовалось.