4.4. Центрі О нүктесінде болатын шеңбердің ішінде жа- гатын А нүктесі берілген: 1) OA түзуі; 2) OA сәулесі; 3) ОА кесіндісі шеңберді неше нүктеде қиып өтеді?
На данном рисунке имеем две пары равных треугольников. Во-первых — QTP и RSP. Треугольники равны по стороне и двум равным прилежащим углам - 2-ой признак (стороны РТ и РS равны по условию, углы РSR и QTP тоже равны по условию, угол QPR у них общий).
Также равны треугольники SMQ и ТМR, что вытекает из равенства двух других треугольников. Углы QSM и RTM равны, по св-ву смежных (если два угла равны, то смежные с ними углы равны). Углы SMQ и TMR равны, как вертикальные. Равенство углов PQT и PRS получаем из равенства треугольников QTP и RSP.
22
На данном рисунке имеем равные треугольники MKF и NPE. Они равны по стороне и двум прилежащим углам — 2-ой признак (равенство сторон KF и PE нам дано, углы MKF и NPE также равны по условию, а углы KFM и PEN равны по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы равны).
23
На данном рисунке имеем:
1) равные треугольники AED и BED (по двум сторонам и углу между ними); равенство АЕ и ЕВ нам дано по условию, ED - общая сторона, углы AED и BED тоже равны по условию.
2) из равенства этих треугольников вытекает равенство треугольников АЕС и ВЕС (по двум сторонам и углу между ними); равенство АЕ и ЕВ нам дано по условию, ЕС - общая сторона, а углы АЕС и ВЕС равны по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы равны).
3) из равенства этих треугольников вытекает равенство треугольников АDC и BDC (по двум сторонам и углу между ними); равенство АD и DB мы получаем из равенства треугольников AED и BED; сторона СD у треугольников общая, а углы ADC и BDC также равны из доказанного равенства треугольников AED и BED.
Есть три варианта расположения центрального угла относительно вписанного: 1) Центр окружности расположен внутри вписанного угла 2) Центр окружности расположен вне вписанного угла 3) Сторона вписанного угла совпадает с диаметром окружности.
Все три доказываются одинаково Рассмотрим первый случай. ΔAOB - равнобедренный, т.к. ОА и ОВ - радиусы окружности Значит, ∠ВАО=∠АВО. ∠ВОD - внешний для угла ∠ВОА => ∠BOD=∠BAO+∠ABO = 2*∠BAO То же самое для ΔАОС: ∠DOC=2*∠OAC Так как ∠ВАС=∠ВАО+∠ОАС и ∠BOC=∠BOD+∠DOC => ∠BOC=2*∠BAC
На данном рисунке имеем две пары равных треугольников. Во-первых — QTP и RSP. Треугольники равны по стороне и двум равным прилежащим углам - 2-ой признак (стороны РТ и РS равны по условию, углы РSR и QTP тоже равны по условию, угол QPR у них общий).
Также равны треугольники SMQ и ТМR, что вытекает из равенства двух других треугольников. Углы QSM и RTM равны, по св-ву смежных (если два угла равны, то смежные с ними углы равны). Углы SMQ и TMR равны, как вертикальные. Равенство углов PQT и PRS получаем из равенства треугольников QTP и RSP.
22На данном рисунке имеем равные треугольники MKF и NPE. Они равны по стороне и двум прилежащим углам — 2-ой признак (равенство сторон KF и PE нам дано, углы MKF и NPE также равны по условию, а углы KFM и PEN равны по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы равны).
23На данном рисунке имеем:
1) равные треугольники AED и BED (по двум сторонам и углу между ними); равенство АЕ и ЕВ нам дано по условию, ED - общая сторона, углы AED и BED тоже равны по условию.
2) из равенства этих треугольников вытекает равенство треугольников АЕС и ВЕС (по двум сторонам и углу между ними); равенство АЕ и ЕВ нам дано по условию, ЕС - общая сторона, а углы АЕС и ВЕС равны по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы равны).
3) из равенства этих треугольников вытекает равенство треугольников АDC и BDC (по двум сторонам и углу между ними); равенство АD и DB мы получаем из равенства треугольников AED и BED; сторона СD у треугольников общая, а углы ADC и BDC также равны из доказанного равенства треугольников AED и BED.
1) Центр окружности расположен внутри вписанного угла
2) Центр окружности расположен вне вписанного угла
3) Сторона вписанного угла совпадает с диаметром окружности.
Все три доказываются одинаково
Рассмотрим первый случай.
ΔAOB - равнобедренный, т.к. ОА и ОВ - радиусы окружности
Значит, ∠ВАО=∠АВО.
∠ВОD - внешний для угла ∠ВОА => ∠BOD=∠BAO+∠ABO = 2*∠BAO
То же самое для ΔАОС:
∠DOC=2*∠OAC
Так как ∠ВАС=∠ВАО+∠ОАС и ∠BOC=∠BOD+∠DOC => ∠BOC=2*∠BAC