3
4
10
My mind took me ... to that evening.​

Четырехугольник может быть описан около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. 

Трапеция - четырехугольник. Сумма оснований  описанной трапеции равна сумме боковых сторон и вдвое больше средней линии. 

АВ+СD=2•8,5=17 см  Трапеция равнобедренная, поэтому  АВ=СD=8,5

Угол ВАD=∠СDA= 30°, ⇒ высота ВН трапеции равна половине АВ.

ВН=8,5:2=4,25 см

Диаметр окружности,  вписанной в трапецию, перпендикулярен  её основаниям и равен её высоте. 

R=D:2=4,25:2=2,125 см. 

Сделали

Построим SO  пл. АВС.
SA, SB, SC - наклонные, а рав­ ные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО=ВО = СО; поэтому в пл. АВСАО = R,R- ра­диус описанной окружности.
ΔАВС  -  правильный;  про­ должим АО, СО и ВО до пересе­чения их со сторонами треугольника.
(из свойств правильного треугольника).
Соединим точки 5 и В, Ах и 5, С\ и 5.
линейный угол двугранного угла SACB.
линейный угол двугранного угла SABC.
- линейный угол двугранного угла SBCA (по определению).
ΔOB1S = ΔOC1S = ΔOA1S - по двум катетам (ОВ1 = ОС1 = ОА1 = r, r - радиус вписанной окружности в ΔABC, SO - общий катет),
(из равенства треугольников).
Раз все ребра тетраэдра равны, то доказанное выше справедливо и для всех двугранных углов.
Поэтому все двугранные углы равны.
Отыщем один из линейных углов двугранного угла, например, двугранного угла SBCA.
Пусть а - ребро тетраэдра, то имеем
ΔBSC: SA1  =а sin 60° 
ΔАВС: ОА1 
ΔSA1O: cos φ 
φ - острый угол.
Отсюда: φ = 
ответ: φ =