30 без !

1

стороны треугольника равны 27 см, 20 см и 23 см. найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

29 см

37 см

35 см

40 см

2

средняя линия равнобокой трапеции в 4 раза больше одного из оснований и на 12 см меньше другого. найдите основания трапеции.

4 см; 21 см

6 см; 28 см

4 см; 28 см

5 см; 25 см
3

прямая ab параллельна к cd и пересекает ∠cod так, что o, b, d лежат на одной прямой, но и o, a, c лежат на одной прямой. если oa=6, oc=8 та ob=12, найдите длину bd.

4

8

12

16

4

в треугольнике abc на стороне ab обозначили точку e так, что be: ea=4: 5, а на стороне bc точку d так, что bd: dc=6: 7. ad и ce пересекаются в точке k. найдите отношение ck: ke.

18: 13

5: 3

7: 4

21: 10

5

в равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны 3 см и 6 см соответственно. найдите отрезки боковой стороны, на которые делит биссектриса угла при основании боковую сторону. в строке «ответ» укажите больший отрезок.

6

в треугольнике авс (ав=вс) проведены медиана ам и высота вн. найдите высоту вн, если ам=45 см, ∠сам=300.

Пусть  ABCA₁B₁C₁  данная    пирамида ,   M  середина ребра  B₁C₁ (B₁M = MC₁) ; N середина  BC  (BN = NC)  ; MN _ апофема ; < MNA =α=60°.

 Sбок = 3*(a+b)/2*MN =3*(6+2)/2 *MN =12MN =12h  ( замена MN  =h).
Сначала  рассматриваем  равнобедренная (CC₁=B₁B)  трапеция  CC₁B₁B  :  
CB =a =6 см  , C₁B₁ =b=2 см  , MN =h (пока неизвестная ) .
 AA₁ =CC₁= BB₁  .
CC₁² =( (a -b)/2)² +h² = ((6-2)/2)² +h² =h²+4 ;
Теперь рассмотриваем трапеция  AA₁MN :
 AA₁ =CC₁ ; AN =a√3/2 =6√3/2 =3√3 ;A₁M =b√3/2 =2√3/2 =√3;
опустим из вершин A₁  и  M  перпендикуляры   A₁E ┴  AN    и  MF ┴ AN.
Из  ΔMFN :
высота этой трапеции  (собственно высота пирамиды)
 h₁=A₁E = MF  =MN*sinα =h*sinα =h*sin60°=h√3/2   ; NF =MN*cosα = h*cos60°=h/2.
Из  ΔAA₁E:
AA₁²= AE² +A₁E² =(2√3 -h/2)² +(h√3/2)² ;    
 ***AN= AE+EF +FC =AE +A₁M +FC ⇔3√3=AE +√3 +h/2 ⇒AE=2√3 - h/2***
h²+4 =12 - 2√3h+h²/4 +3/4h² ⇒ h =4/√3 .
 Окончательно :
Sбок = 12h =12*4/√3 =16√3 .
ответ : 16√3.

В общем рассмотрели две трапеции  CC₁B₁B и  AA₁MN .

По условию площадь АОД не равно площади ВОС,поэтому АД и ВС являются не боковыми сторонами,а основаниями трапеции.Тогда треугольники АОД и ВОС подобны по двум углам,а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k.Поэтому k=4/3=AO/OC.Поскольку треугольники АВО и СВО имеют общую высоту,проведенную из вершины В,то отношение их площадей равно отношению их оснований,то есть SABD/SCBD=AO/OC=4/3.Значит,SABD=4/3*SCBD=4/3*9=12.Площади АВД и АСД равны,т к эти треугольники имеют общее основание АД и их высоты ,проведенные к этому основанию,равны как высоты трапеции, следовательно, SAOB=SABD-SAOD=SACD-SAOD=SCOD;Поэтому и SCOD=12;SABCD=16+12*2+9=49 см.ответ:49 см