3. Плоскость а проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD - точки Ми N. а) Докажите, что AD Па. б) Найдите BC, если AD=10 см, MN = 8 см.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC, в котором AH является как медианой, так и высотой. Докажем, что он является равнобедренным.
I)В нём этот отрезок будет являться частью срединного перпендикуляра к стороне BC, поэтому по теореме о срединном перпендикуляра к отрезку, AB=AC как расстояния от точки A, лежащей на нём до точек B и C, т.е. треугольник ABC является равнобедренным по определению, что и требовалось доказать.
II)Высота разделяет этот треугольник на два прямоугольных: HAB и HAC. Они равны по двум катетам: катет AH - общий, катеты BH и CH равны как отрезки, на которые медиана делит противоположную сторону. Из равенства этих треугольников следует и равенство их 1) соответственных углов: <ABC=<ACB, поэтому рассматриваемый треугольник является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника, что и требовалось доказать; 2) соответственных сторон: AB=AC, поэтому рассм. тр. является равноб. по определению, что и требовалось доказать.
III)В рассматриваемом треугольнике в прямоугольных треугольниках HAB и HAC по теореме Пифагора и , Но по условию BH=CH, поэтому AB=AC, т.е. рассм. тр. - равноб. по определению, ч. т. д.
Проводим CE II BD, точка E лежит на продолжении AD.
Ясно, что AE = AD + ВС, поэтому площадь треугольника АСЕ равна площади трапеции (у них общая высота - расстояние от С до AD, - и средние линии равны).
Пусть К - середина АЕ. Легко видеть, что QK = (AD + ВС)/2 - AD/2 = BC/2, то есть РСКQ - параллелограмм. Поэтому CK = PQ = 13/2 - медиана прямоугольного треугольника АСЕ, проведенная к гипотенузе АЕ. Поэтому АЕ = 2*СК = 13. Ну, вот и прорезался Пифагор :))) В данном случае Пифагорова тройка 5,12,13 (кто не понял, это я вычислил СЕ = 5).
Поэтому площадь АВЕ, а, следовательно, и площадь трапеции ABCD, равна 5*12/2 = 30.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC, в котором AH является как медианой, так и высотой. Докажем, что он является равнобедренным.
I)В нём этот отрезок будет являться частью срединного перпендикуляра к стороне BC, поэтому по теореме о срединном перпендикуляра к отрезку, AB=AC как расстояния от точки A, лежащей на нём до точек B и C, т.е. треугольник ABC является равнобедренным по определению, что и требовалось доказать.
II)Высота разделяет этот треугольник на два прямоугольных: HAB и HAC. Они равны по двум катетам: катет AH - общий, катеты BH и CH равны как отрезки, на которые медиана делит противоположную сторону. Из равенства этих треугольников следует и равенство их 1) соответственных углов: <ABC=<ACB, поэтому рассматриваемый треугольник является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника, что и требовалось доказать; 2) соответственных сторон: AB=AC, поэтому рассм. тр. является равноб. по определению, что и требовалось доказать.
III)В рассматриваемом треугольнике в прямоугольных треугольниках HAB и HAC по теореме Пифагора
и 
, Но по условию BH=CH, поэтому AB=AC, т.е. рассм. тр. - равноб. по определению, ч. т. д.
чую я, Пифагоровым духом пахнет :
Трапеция ABCD, AD II BC, AD > BC; AC = 12;
P - середина ВС, Q - середина AD, PQ = 13/2;
Проводим CE II BD, точка E лежит на продолжении AD.
Ясно, что AE = AD + ВС, поэтому площадь треугольника АСЕ равна площади трапеции (у них общая высота - расстояние от С до AD, - и средние линии равны).
Пусть К - середина АЕ. Легко видеть, что QK = (AD + ВС)/2 - AD/2 = BC/2, то есть РСКQ - параллелограмм. Поэтому CK = PQ = 13/2 - медиана прямоугольного треугольника АСЕ, проведенная к гипотенузе АЕ. Поэтому АЕ = 2*СК = 13. Ну, вот и прорезался Пифагор :))) В данном случае Пифагорова тройка 5,12,13 (кто не понял, это я вычислил СЕ = 5).
Поэтому площадь АВЕ, а, следовательно, и площадь трапеции ABCD, равна 5*12/2 = 30.