3)Окружность задана уравнением (x-4)^2+(y-2)^2=25. она повёрнута на угол 90 по часовой стрелке относительно точки A (3;1). Укажите уравнение полученной окружности.

4) Точка B1( 5; -6) симметрична точке B относительно точки O (7;-2). Найдите координаты точки B.

Из ΔАВС по теореме косинусов:

АВ² = АС²+ ВС² - 2 · АC · ВС · cos120°

AB² = a² + a² - 2a² · (- 1/2) = 3a²

AB = a√3

Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то линия их пересечения так же перпендикулярна третьей плоскости.

Плоскости DAB и DAC перпендикулярны плоскости АВС, они пересекаются по прямой DA, значит и DA⊥ABC.

Проведем АН⊥ВС. АН - проекция DH на плоскость АВС, значит и DH⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠DHA = 45° - линейный угол двугранного угла наклона грани DBC к плоскости основания.

∠АСН = 180° - 120° = 60° (смежные)

ΔАСН: ∠АНС = 90°, АН = АС · sin 60° = a√3/2

ΔDAH: ∠DAH = 90°, ∠DHA = 45°, ⇒ ∠ADH = 45°, треугольник равнобедренный, DA = AH = a√3/2.

DH = DA√2 = √2 · a√3/2 = a√6/2 как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.

Sdac = DA · AC / 2 = (a√3/2 · a) / 2 = a²√3/4

Sdab = DA · AB / 2 = (a√3/2 · a√3) / 2 = 3a²/4

Sdbc = BC · DH / 2 = (a · a√6/2) / 2 = a²√6/4

Sбок = Sdac + Sdab + Sdbc

S бок = a²√3/4 + 3a²/4 + a²√6/4 = a²√3(1 + √3 + √2)/4

1.
а) Пусть Н - середина АС, тогда ЕН - средняя линия ΔАВС,
ЕН║СВ, ⇒ ЕН⊥АС.
ЕН - проекция наклонно МН на плоскость АВС, значит и
МН⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
Значит МН - искомое расстояние от точки М до прямой АС.

ЕН = ВС/2 = 16/2 = 8 см
ΔМЕН: ∠МЕН = 90°, по теореме Пифагора
             МН = √(МЕ² + ЕН²) = √(80 + 64) = √144 = 12 см

б) Sacm = 1/2 ·AC · MH = 1/2 · 16 · 12 = 96 см²
ΔАСЕ - проекция ΔАСМ на плоскость АВС.
Sace = 1/2 ·AC · EH = 1/2 · 16 · 8 = 64 см²

в) ВС ⊂ АВС, ЕМ ∩ АВС = Е, Е ∉ ВС, ⇒
ЕМ и ВС - скрещивающиеся.
Пусть К - середина ВС, тогда ЕК - средняя линия ΔАВС,
ЕК║АС, значит ЕК⊥ВС.
МЕ⊥ЕК, так как МЕ ⊥АВС, а ЕК ⊂ АВС.
ЕК - перпендикуляр и двум скрещивающимся прямым, значит
ЕК - искомое расстояние между прямыми МЕ и ВС.
ЕК = АС/2 = 16/2 = 8 см (как средняя линия ΔАВС)

2.
AВ⊥АD, так как ABCD - квадрат.
АВ - проекция АВ₁ на плоскость основания, значит
АВ₁⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.
∠В₁АВ - линейный угол двугранного угла В₁ADB - искомый.

Пусть а - ребро основания.
Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:
а² + а² = 72
2а² = 72
а² = 36
а = 6 см
ΔВ₁АВ: ∠В₁ВА = 90°,
               cos∠В₁АВ = AB/AB₁
               cos∠В₁АВ = 6 / (4√3) = 3 / (2√3) = 3√3 / 6 = √3/2
               ∠В₁АВ = 30°