21. Точка G — центр тяжести треугольника ABC, а A1, B1, C1 - середины сторон BC,
АС, АВ соответственно. Вычислите:
а) AA1, и ВВ1, если AG = 6 см и BG = 5 см;
б) BB1 и CC1, если B1G = 6 см и C1G = 5 см;
в) A1G и B1G, если AG = 4,2 см и BG = 3,8 см;
г) AA1и CC, если AG = 1,2-GC = 8,4 см.
Докажем второй пункт. Как известно, высота равнобедренного треугольника совпадает с его медианой и биссектрисой и является его осью симметрии. Также, любые два равнобедренных треугольника, построенные на одном основании, обладают общей осью симметрии и, как следствие, общей высотой/медианой/биссектрисой. Тогда получаем, что KA⊂KC и все три точки лежат на KC.
Это автоматически доказывает первый пункт, т.к. непонятные ∠ACB и ∠ACD превращаются в углы при биссектрисе ∠KCB=∠KCD, которые равны между собой.