20 ! в четырёхугольнике авсд углы а и с прямые. из точек б и д опустили перпендикуляры на диагональ ас и получили соответсвенно точки м и н . докажите, что ам=сн
ABCD - вписанный четырехугольник, т.к. сумма противоположных углов A и C равна 180°. BD - диаметр, т.к. на него опирается вписанный прямой угол A. Продлим перпендикуляры BM и DH до пересечения с окружностью в точках E и F. Углы E и F - прямые, т.к. опираются на диаметр BD. FBMH и DEMH - прямоугольники, т.к. имеют три прямых угла. FH=BM, DH=EM как противоположные стороны прямоугольников. Для пересекающихся хорд BE, AC и DF, AC выполняются равенства:
BM*EM=AM*CM
DH*FH=AH*CH
BM*EM=DH*FH => AM*CM=AH*CH
AM*CM=AH*CH <=>
(AH+HM)*CM = AH*(CM+HM) <=>
AH*CM +HM*CM = AH*CM +AH*HM <=>
CM=AH <=> AM=CH