20 ! !

дан треугольник abc . на сторонах ab и ac соответственно отложены точки d и e так, что de= 9 см и ad/bd=7/4 . через точки b и c проведена плоскость α , которая параллельна отрезку de .
картинка такая, потому что по другому не получилось.

1

1. Рассмотрим 3-ки NPM и RPQ:

<MNP = <PQR (по усл.)

NP = PQ (по усл.)

<NPM = <RPQ (вертикальные)

След-но,

тр. NPM = тр. RPQ (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

2

1. Тр. CDE — равнобедренный (CD = DE)

значит,

<FCD = <HED

2. Рассмотрим 3-ки CFD и EHD:

CD = ED (по усл.)

<CDF = <EDH (по усл.)

<FCD = <HED (по доказанному)

След-но,

тр. CFD = тр EHD (по стороне и двум прилежащим углам)

3

1. Рассмотрим 3-ки QOR и POR:

RO — общая

<QOR = <POR (по усл.)

QO = PO(по усл.)

След-но,

тр QOR = тр POR (по двум сторонам и углу между ними)

4

1. <ВАС = <ВСА (по усл.), значит:

тр. АВС — равнобедренный (АВ = ВС)

2. <КАВ = 180 - <ВАС (смежные)

<NCB = 180 - <BCA (смежные)

т.к. <ВСА = <ВАС, то:

<КАВ = <NCB

3. Рассмотрим 3-ки КАВ и NCB:

KA=CN (по усл)

AB = BC (по доказанному)

<КАВ = <NCB(по доказанному)

След-но, тр. КАВ = тр NCB (по двум сторонам и углу между ними)

5

1. <А = <D (накрест лежащие при прямых АС и ЕD и секущей АD)

значит,

АС || ED

2. Т. к. АС || ED, то:

<С = <Е

3. <АВС = <DBE (вертикальные)

4. Рассмотрим 3-ки АВС и DBE:

Против равных углов лежат равные стороны, значит:

AB = BD

CB = BE

ED = AC

След-но,

тр АВС = тр DBE (по трем сторонам)

6

1. Рассмотрим 3-ки ADB и ВСD:

BD — общая

<АDB = <CBD (по усл)

<ABD = <BDC (по усл)

След-но,

тр ABD = тр BCD (по стороне и прилежащим к ней углам)

Площадь боковой поверхности правильного тетраэдра равна:
Sбок = (3/4)√3а², где а - длина его стороны.
108√3 =  (3/4)√3а²
Находим а = √(108*4/3) = √(36*4) = 6*2 = 12 см.
Стороны треугольника ДОТ равны половине а, то есть в = 12/2 = 6 см,
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен:
r = b / (2√3) = 6 / (2√3) = 3 / √3 = √3 см.
Радиусы в точки касания делят окружность на 3 дуги, градусная мера которых составляет 360 / 3 = 120°.
Площадь сектора, ограниченного двумя радиусами, проведенными в точки касания, и другой окружности, большей 180° -это 2/3 площади круга: S = (2/3)πr² = π*(2*(√3)²/3=2π см².