2. Точки F и М лежат соответственно на сторонах AB и ВС треугольника ABC,
причем CF=AM, угол MAC= углу FCA. Докажите, что треугольник ABC равносторонний​

Так как в условии не оговорено положение точки М, будем считать ее серединой любой из сторон треугольника АВС. Приведенное решение только для условия с этим предположением.

Сделаем дополнительные построения: соединим вершину перпендикуляра D с вершинами треугольника АВС. Тогда получится правильная пирамида АВСD с боковыми ребрами DA=DB=DC (так как точка О - центр правильного треугольника АВС, то отрезки DA, DB и DC равны, как наклонные к плоскости, проведенные из одной точки, проекции которых равны - радиусы описанной окружности ).

Соединим точку М с противоположной вершиной С. Тогда МС - высота правильного треугольника АВС и по его свойствам МС - высота и медиана.

Следовательно, точка О делит отрезок МС в отношении 2:1, считая от вершины С. Треугольник DOM - пифагоров и МО=3. Тогда ОС=6, а DC=√(DO²+OC²) = √(16+36) = √52 = 2√13.

Найдем сторону треугольника АВС. МС=МО+ОС = 3+6=9. Из прямоугольного треугольника АМС по Пифагору: МС² = АС²- АС²/4 => 81*4=3*АС² => АС=6√3. Тогда периметр треугольника АВС равен 18√3 ед.

ответ: Рabc = 18√3. AD=BD=DC = 2√13 ед.

20

Объяснение:

Соединим центр окружности с концами хорд.

= = OC = OD как радиусы.

Проведем OK.LAB и и OH. LCD, OK = 21 - расстояние от центра до АВ,

ОН - искомое расстояние от центра до CD.

ДОАВ равнобедренный, значит OK - высота и медиана.

AK = KB = 1/2AB = 1/2 40 = 20

Из прямоугольного треугольника АКО по теореме Пифагора:

= /(AK2 + KO2) = v(202 + 212) = v(400

+ 441) = +/841 = 29 CO = AO = 29

ACOD равнобедренный, значит ОН - высота и медиана,

CH = HD = 1/2CD = 1/2 42 = 21 Из прямоугольного треугольника СОН по теореме Пифагора:

ОН = v(CO2 - CH?) = -/(292 - 212) = v(841 - 441) = v400 = 20