Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Отрезок ЕС равен 1 см.
Объяснение:
Требуется найти отрезок ОС.
Дано: ΔАВС - равнобедренный;
∠А = 75°;
CD ⊥ АВ; DE ⊥ BC;
ВЕ = 3 см.
Найти: ЕС.
1. Рассмотрим ΔΔАВС - равнобедренный;
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.⇒ ∠А = ∠С = 75°
Сумма углов треугольника равна 180°.⇒ ∠В = 180° - (75° + 75°) = 30°
2. Рассмотрим ΔDBE - прямоугольный.
∠В = 30°
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.Пусть DE = x см, тогда DB = 2x см.
По теореме Пифагора:
BD² = DE² + BE²
4x² = x² + 9
3x² = 9
x² = 3
x = √3
DE = √3 см
3. Рассмотрим ΔАDC - прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠1 = 90° - ∠А = 90° - 75° = 15°
4. Рассмотрим ΔEDC - прямоугольный.
∠2 = ∠С - ∠1 = 75° - 15° = 60°
∠3 = 90° - ∠2 = 90° - 60° = 30°
Пусть ЕС = у см, тогда DC = 2у см (катет, лежащий против угла 30°)
По теореме Пифагора:
DC² = DE² + EC²
4y² = 3 + y²
3y² = 3
y² = 1
y = 1
Отрезок ЕС равен 1 см.
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.