178. Доповніть малюнок 134: проведіть пряму KА так, щоб кути AKN i KNP були внутрішніми односторонніми кутами
для прямих AK i PN та сiчної KN. Як розмістяться точки А і
Р відносно прямої KN?

я бы пошёл таким путём:
очевидно, что треугольник МАС прямоугольный, причём катеты у него 5 и 12
откуда мы можем найти угол МСА (по теореме синусов, хотя бы)
теперь рассмотрим треугольник ЕОС (О - центр окружности)
он равнобедренный со сторонами ОЕ и ОС по 6
можем найти его углы
ЕСО = МСА
СЕО = ЕСО = МСА
ЕОС = 180 - 2*МСА
теперь рассмотрим треугольник ЕОА
он тоже равнобедренный со сторонами ЕО и АО по 6
и угол ЕОА = 180 - ЕОС = 180 - 180 - (-2*МСА) = 2*МСА
теперь мы знаем две стороны (по 6) и угол между ними (ЕОА = 2*МСА)
по теореме косинусов можем найти противоположную сторону АЕ
всё

МN || АС, значит MN ⊥ АВ
Прямоугольный треугольник АМN равен прямоугольному треугольнику BMN  по двум катетам:
МN - общая сторона
AM = MB  по условию ( М- середина АВ)
Из равенства треугольников следует, АN = BN=8 см
Так как угол NBC  равен 60°, то угол АВN равен  90°-60°=30°.
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы.
MN= 4 см.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АMN:
АМ²=AN²-MN² = 8² - 4²=64 - 16 = 48
AM = 4√3 cм
S (Δ AMN) = (AM· MN)/2 = (4√3·4)/2=8√3 кв. см