100Б 1. Знайти довжину кола, вписаного в ромб із стороною 10 і площею 40.
2. Основи трапеції рівні 60 і 20, а бічні сторони 13 і 37. Обчислити площу трапеції.
3. Точки А і В належать площині α , а точка С лежить поза площиною α . Вкажіть, які з
наведених тверджень правильні, а які — неправильні:
а) пряма АС лежить в площині α ;
б) пряма СВ не лежить в площині α ;
в) пряма АВ лежить поза площиною α ;
г) пряма АВ лежить в площині α .
4. У трикутній піраміді SABC всі ребра дорівнюють 12 см. Побудуйте переріз піраміди
площиною, яка проходить через ребро СS і точку Μ — середину ребра ВА. Знайдіть
периметр побудованого перерізу.
5. Через кінці відрізка АВ і його середину Μ проведено паралельні прямі, що перетинають
деяку площину в точках А1, В1, M1. Знайдіть довжину відрізка В1М1, якщо АМ = 4 , MВ =
6, А1M1 = 2 і відрізок АВ не перетинає площину.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301
ответ: 1) 70*, 110*, 70*, 110*.
2) 50*, 130*, 50*, 130*.
3) 30*,150*, 30*, 150*.
Объяснение:
Сумма углов в четырехугольнике (а параллелограмм - четырехугольник) равно 360*.
Кроме того противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной из сторон равна 180*.
Пусть угол А - острый, а угол В - тупой.
Значит
1) ∠В-∠А=40*. То есть ∠В больше ∠А на 40*.
Пусть ∠А=х, тогда ∠В=х+40. В сумме они равны 180*.
х+х+40=180*;
2х=140*;
х=70* - ∠А;
х+40*=70*+40*=110* - ∠В.
Так как противоположные углы в параллелограмме равны, то:
∠С=∠А=70*;
∠D=∠B=110*
Проверим:
70*+110*+70*+110*=140*+220*=360*. Все верно.
2) ∠В-∠А=80*. То есть угол В на 80* больше угла А.
∠А=х, ∠В=х+80*.
х+х+80*=180*
2х=100*;
х=50* - ∠А;
х+80*=50*+80*=130* - ∠В.
∠А=∠С=50*;
∠В=∠D=130*.
Проверим:
50*+130*+50*+130*=100*+260*=360*. Все верно.
3) ∠В-∠А=120*. Значит ∠В больше ∠А на 120*.
∠А=х, ∠В=х+120*.
х+х+120*=180*.
2х=60*;
х=30* - ∠А;
х+120*=30*+120*=150* - ∠В.
∠А=∠С=30*;
∠В=∠D=150*.
Проверим:
30*+150*+30*+150*=60*+300*=360*. Все верно.