1. Высота цилиндра равна 8 см, а диаметр основы 30 см. Найдите расстояние от центра одного основания до точки окружности второго основания. 2. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а сторона основания 18 см. Найдите высоту пирамиды.
Объяснение: Пусть центры данных окружностей А и В,
АВ=25 - расстояние между центрами (дано);
внешняя касательная МК, внутренняя ТН.
АМ=4 - радиус меньшей окружности (дано) и перпендикулярен МК (свойство радиуса и касательной),
ВК=11 - радиус большей окружности перпендикулярен КМ.
а) внешняя касательная МК: Проведем АС параллельно МК. Четырехугольник АМКС - прямоугольник, СК=АМ=4 ⇒
ВС=ВК-СК=11-4=7
Треугольник АВС - прямоугольный.
По т. Пифагора АС=√(AB²-BC²)=√(25²-7²)=24
МК=АС=24 (ед. длины)
б)внутренняя касательная НТ:
Проведем радиусы АН и ВТ в точки касания. Из центра большей окружности проведем прямую параллельно ТН, продлим АН до пересечения с прямой из В в точке Е. Четырехугольник НТВЕ - прямоугольник (радиусы перпендикулярны касательной, противоположные стороны попарно параллельны и равны). АЕ=АН+НЕ=4+11=15; АВ=25 ( дано). По т.Пифагора из прямоугольного треугольника АВЕ катет ВЕ=√(AB²-AE²)=√(25²-15²)=20.
Менелая
PK/KQ *QS/SN *NR/RP =1 <=> 2/3 *3/1 *NR/RP =1 <=> NR/RP= 1/2
PN/NR *RS/SK *KQ/QP =1 <=> 1/1 *RS/SK *3/5 =1 <=> RS/SK= 5/3
Чевы
PN/NR *RM/MQ *QK/KP =1 <=> 1/1 *RM/MQ *3/2 =1 <=> RM/MQ= 2/3
Менелая
QK/KP *PS/SM *MR/RQ =1 <=> 3/2 *PS/SM *2/5 =1 <=> PS/SM= 5/3
RS/SK *KL/LN *NP/PR =1 <=> 5/3 *KL/LN *1/2 =1 <=> KL/LN= 6/5
RN/NP *PL/LS *SK/KR =1 <=> 1/1 *PL/LS *3/8 =1 <=> PL/LS= 8/3
PL/PM =PL/PS *PS/PM =8/11 *5/8 =5/11
PL/LM= 5/6
Разумеется, после того, как установлено, что QN - медиана, можно сразу сказать, что
RM/MQ =PK/KQ =2/3 (PR||KM)
PL/ML =LN/LK (PLN~MLK)
PS/MS= SR/SK (PSR~MSK)
ответ: внешняя касательная=24, внутренняя - 20.
Объяснение: Пусть центры данных окружностей А и В,
АВ=25 - расстояние между центрами (дано);
внешняя касательная МК, внутренняя ТН.
АМ=4 - радиус меньшей окружности (дано) и перпендикулярен МК (свойство радиуса и касательной),
ВК=11 - радиус большей окружности перпендикулярен КМ.
а) внешняя касательная МК: Проведем АС параллельно МК. Четырехугольник АМКС - прямоугольник, СК=АМ=4 ⇒
ВС=ВК-СК=11-4=7
Треугольник АВС - прямоугольный.
По т. Пифагора АС=√(AB²-BC²)=√(25²-7²)=24
МК=АС=24 (ед. длины)
б)внутренняя касательная НТ:
Проведем радиусы АН и ВТ в точки касания. Из центра большей окружности проведем прямую параллельно ТН, продлим АН до пересечения с прямой из В в точке Е. Четырехугольник НТВЕ - прямоугольник (радиусы перпендикулярны касательной, противоположные стороны попарно параллельны и равны). АЕ=АН+НЕ=4+11=15; АВ=25 ( дано). По т.Пифагора из прямоугольного треугольника АВЕ катет ВЕ=√(AB²-AE²)=√(25²-15²)=20.
ТН=ВЕ=20 (ед. длины)