1)В треугольнике МРК, ∠M=45° , а высота РН делит сторону МК на отрезки МН и НК соответственно равные 5 см и 8 см. Найдите площадь треугольника МРК
2)В прямоугольной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите
площадь трапеции, если боковые стороны равны 8 см и 10 см.

а) пусть угол 1=35°

на прикреплённом фото все углы обозначены

1=4 как вертикальные, 4=5 как накрест лежащие при а||b и секущей с, 5=8 как вертикальные => 1=4=5=8=35°

угол 1 и угол 2 смежные => 1+2=180° => угол 2=180-1=145°

угол 4 и угол 6 односторонние при а||b и секущей с => 4+6=180 => 6=180-35=145°

угол 2=6 как соответственные при а||b и секущей с (второй вариант доказательства того, что угол 2=6), 6=3 как накрест лежащие при а||b и секущей с угол 3=7 как соответственные или угол 6=7 как вертикальные =>

2=3=6=7=145°

б) угол 2 на 50° больше угла 1

1 и 2 смежные, => 1+2=180, угол 1=х, угол 2=х+50

х+х+50=180

2х=130

х=65°

=> угол 1=65°, угол 2=65+50=115°

из п. а берем что 1=4=5=8=> 4=5=8=65°

2=3=6=7 => 3=6=7=115°

Пусть AB=2, BE=1 => AE =√5 (т Пифагора)

△AKE - равнобедренный, KH - высота и медиана

AH=AE/2 =√5/2

△AYH~△AEB (∠EAD=∠AEB, накрест лежащие)

AY/AE =AH/BE => AY =√5*√5/2*1 =5/2

DY =AY-AD =5/2 -2 =1/2

EC||AD, EC=AD/2 => EC - средняя линия в AXD

E и С - середины AX и XD

Теорема Менелая

AH/HX *XK/KD *DY/YA =1

1/3 *XK/KD *1/5 =1 => XK/KD =15/1

KD=x, XD=16x, CD=8x => CK/KD=7/1

Или

x^2 +a^2/4 = y^2 +a^2 => |:y^2

(x/y)^2 = 1 +3/4 (a/y)^2

x+y =a => |:y

x/y +1 =a/y

k= x/y

k^2 =1 +3/4 (k+1)^2 =>

4k^2 =4 +3(k^2 +2k +1) =>

k^2 -6k -7  =0 =>

k = 3+√(9+7) =7 (k>0)

ответ: x/y =7/1