1 В треугольнике MNK MN = NK, NC – медиана, угол MNK = 120°. Найдите уголMNC.

Каноническое уравнение параболы y^2=2px
Фокус параболы F(p/2,0), тогда  F(5/2,0)
Вершина параболы О(0,0)
Пусть М(х,у) - искомая точка.
Расстояние от нее до начала координат : √(x²+y²)
Расстояние до фокуса:√((x-5/2)²+y²).
Эти расстояния относятся как 8:7, а квадраты расстояний как 64:49.
49(x^²+y²)=64 ((x-5/2)²+y²).
 М принадлежит параболе и значит y^2=10x
49(x²+10х)=64 ((x-5/2)²+10х)
49х²+490х=64х²-320х+400+640х
15х²-170х+400=0
3х²-34х+80=0
D=1156-960=196
x1=(34-14)/6=10/3⇒y²=100/3⇒y1=-10√3/3 U y2=10√3/3
x2=(34+14)/6=8⇒y³=80⇒y3=-4√5 U y4=4√5
х=8 и х=10/3
Получается 4 точки: (10/3;-10√3/3)(10/3;10√3/3);(8;-4√5);(8;4√5)

Объяснение:

1

a)М-середина

х=(5-3)/2=1    y=(-2+4)/2=1  z=(1+7)/2=4

M(1;1;4)

b)5=(x-3)/2⇒x-3=10⇒x=13

-2=(y+4)/2⇒y+4=-4⇒y=-8

1=(z+7)/2⇒z+7=2⇒z=-5

C(13;-8;-5)

2

a+b={1;-4;1}

|a+b|=√1+16+1=√18=3√2

|a|+|b|=√4+36+9+√1+4+4=√49+√9=7+3=10

3

AB=√(1-2)²+(-5-1)²+(0+8)²=√1+36+64=√101

BC=√(8-1)²+(1+5)²+(-4-0)²=√49+36+16=√101

AC=√(8-2)²+(1-1)²+(-4+8)²=√36+0+16=√52=2√13

AB=BC- треугольник равнобедренный

Средняя линия равна 1/2АС=1/2*2√13=√13

Пусть N(x;y;z)- произвольная точка плоскости.

Тогда векторы NM  и  n - ортогональны.

Условием ортогональности является равенство нулю их скалярного произведения.

Находим координаты векторов.

NM (2-x;3-y;5-z)

n(4;3;2)

Находим их скалярное произведение - это сумма произведений одноименных координат

4(2-х)+3(3-у)+2(5-z) 

и приравниваем к нулю

4(2-х)+3(3-у)+2(5-z) =0

или

8-4х+9-3у+10-2z=0

4x+3y+2z-27=0

ответ. 4х+3у+2z-27=0

Подробнее - на -