1. В треугольнике АВС ∠ А = 45о, ∠ В = 60о, ВС = 3√2. Найдите АС.

2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120о. Найдите третью сторону треугольника.

3. Определите вид треугольника АВС, если А (3; 9), В (0; 6), С (4; 2).

4. Четырёхугольник АВСD задан координатами своих вершин А (- 1; 1), В (3; 3), С (2; - 2), D (- 2; - 1). Найдите синус угла между его диагоналями

1)  АВСД - трапеция, АВ-СД, ВН⊥АД , АН=6 см , НД=13 см.

Проведём СК⊥АД, тогда АН=КД=6 см , НК=13-6=7 см , НК=ВС=7 см, АД=АН+НД=6+13=19 см.

Средняя линия трапеции = (АД+ВС)/2=(7=19+7)/2=26/2=13 см.

Замечание . Средняя линия трапеции и отрезок НД всегда равны, если трапеция равнобедренная.

2)  МНКР - трапеция, ∠М=90°  ,  ∠К=150°  ,  НК=3 см ,  МК⊥КР.

∠МКН=∠НКР-∠СКР=150°-90°=60°  ⇒  в ΔМКН  ∠КМН=90°-∠МКР=90°-60°=30°  ⇒  катет КН, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы  ⇒  гипотенуза МК=2*КН=2*3=6 см.

Рассм. ΔМКР , ∠МКР=90° , ∠КМР=∠М-∠КМН=90°-30°=60°  ⇒  ∠МРК=30°.

Против угла в 30° лежит катет МК, равный половине гипотенузы МР  ⇒   МР=2*МК=2*6=12 см

Средняя линия трапеции = (МР+КН)/2=(12+3)/2=15/2=7,5 см.

Обозначим проекцию апофемы на основание за х.

Тогда проекция боковой стороны на основание будет 2х.

По Пифагору имеем - боковая сторона L равна:

L = √((2x)² + (√3)²)  = √(4x² + 3).

Апофема А равна √(x² + (√3)²)  = √(x² + 3).

Высота треугольника основания равна 3х.

Тогда сторона основания а = 3x/cos 30° = 3x/(√3/2) = 6x/√3 = 2√3x.

Но, так как сторона основания - это гипотенуза при двух катетах L, то можно выразить: a = √(2L²) = L√2 = √(4x² + 3)*√2 = √(8x² + 6).

Приравняем: √(8x² + 6) = 2√3x.   Возведём в квадрат:

8x² + 6 = 12x   или 4x² = 6  или 2x² = 3.

Отсюда находим х = √(3/2).

Теперь можно определить длину стороны основания, подставив значение х: а = 2√3*(√(3/2)) = 3√2.

Площадь основания So = a²√3/4 = 18√3/4 = 9√3/2 кв.ед.

ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*(9√3/2)*√3 = (9/2) куб.ед.