1. Укажите проекцию перпендикуляра, проекцию наклонной к плоскости α

Обозначим начало наклонной А,  конец наклонной В ( точка пересечения с плоскостью  α). 

Опустим из А перпендикуляр на плоскость  α. 

ВС- проекция наклонной а. 

АС⊥ВС.

Угол АВС=45° 

Прямую b обозначим ВК; угол АВК=60°

 Рассмотрим треугольник АВС. 

Так как угол АВС=45°, то угол ВАС=45°, 

треугольник АВС прямоугольный равнобедренный. 

АС=ВС=а*sin(45°)=(a√2):2. 

Треугольник АВК прямоугольный. 

ВК=а*cos(60°)=а:2

Треугольник ВКС - прямоугольный с гипотенузой ВС

cos ∠ KBC=BК:ВС=(а:2):(a√2):2=1:√2. Умножив числитель и знаменатель на √2, получим

cos  ∠ KBC=√2):2. Это косинус 45°

1) Проекция О вершины верхнего основания  - центр нижнего и является центром описанной около нижнего основания окружности.⇒

Отрезок А1О – высота призмы. 

АО - катет прямоугольного ∆ АОА1.

АО=А1О:tg45°=4

АО - радиус R описанной окружности 

R=a/√3⇒

a=R•√3=4√3

V(призмы)=S (ABC)•A1O

S(ABC)=(4√3)²•√3/4=12√3

 V=12√3•4=48√3 (ед. площади)

Из вершины D возведем отрезок DM⊥CC1. Из т.M перпендикулярно к CC1 проведем луч до пересечения с ВВ1 в точке К 

Угол DMK-  данный и равен 60°.  

DM перпендикулярна противоположным сторонам грани ВВ1С1С и является высотой параллелограмма DD1С1С. ⇒

DМ=Ѕ(DD1С1С): ВВ1

DМ=30:5=6 см

Аналогично КM=Ѕ(ВВ1С1С):СС1=20:5=4 см

"Отрежем" от исходной наклонной призмы треугольную призму КМСВ и параллельным переносом установим ее на верхнее основание наклонной призмы. Вследствие  этого получим прямую призму АDMKK1M1D1A1. объём которой равен объёму исходной. 

V=АА1•S(ADMK)

S(ADMK)=KM•DM•sin60°=4•6•√3/2=12√3

V=5•12√3=60√3