1. Углы BOA и COB – смежные. Найдите эти углы, если ∠BOA в 2,6 раза меньше, чем ∠COB.

а) 80° и 100°; б) 88,7° и 91,3° ; в) 50° и 130° ; г) 77° и 93°

2. Выберите все углы, не являющиеся тупыми: ∠А = 82°; ∠В = 153°; ∠С = 31°; ∠D = 90°; ∠Е = 180°

а) ∠А и ∠C; б) ∠А, ∠В, ∠D; в) ∠A, ∠C, ∠D; г) ∠A, ∠C, ∠D, ∠E

3. Чему равен угол между биссектрисами смежных углов?

а) 60°; б) 90°; в) 100°; г) ответить нельзя

4. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 10% величины развернутого угла. Найдите остальные углы, образовавшиеся при пересечении этих прямых.

а) 18°, 162°, 162°; б) 18°, 18°, 162°; в) 18°, 162°; г) другой ответ.

5. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 236°. Найдите эти углы.

а) 180°, 28°, 28°; б) 118°, 59°, 59°; в) 56°, 90°, 90°; г) 56°, 56°, 124°.

6. ∠BOK=70°, OE − биссектриса ∠BOK. Найдите ∠BOD, если луч OD – дополнительный к лучу OE.

а) 145°; б) 70°; в) 35°; г) 105°

7. Углы MOD и KON прямые. Найдите ∠KOD, если ∠MON=151°.

а) 29°; б) 119°; в) 61°; г) другой ответ.

1 

Таким же образом, используя формулу  для площади треугольника, можно доказать и теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

Теорема (о биссектрисе внутреннего угла треугольника).

Если AA1 ¾  биссектриса угла A треугольника ABC, то

BA1 : A1 C = BA : AC.

Доказательство. Пусть угол при вершине A в треугольнике ABC равен 2a. Рассмотрим треугольники BAA1 и CAA1 (см. рис.). Их площади относятся как отрезки BA1 и A1C, поскольку высота к этим сторонам в рассматриваемых треугольниках общая.

 

 

2 

Свойства Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства). Признаки Два угла треугольника равны. Высота совпадает с медианой. Высота совпадает с биссектрисой. Биссектриса совпадает с медианой.

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны,  — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Определение:  "Правильная пирамида — это пирамида, основанием
которой является правильный многоугольник, а вершина пирамиды
проецируется в центр этого многоугольника. Высота боковой грани,
проведенная из вершины правильной пирамиды,
называется апофемой,  боковые ребра равны, боковые грани равны
(все являются равнобедренными треугольниками)".
Следовательно, углы наклона боковых ребер к основанию равны -
это углы между ребром и высотой основания (правильного треугольника).
Углы углы наклона боковых граней равны - это углы между апофемой
и высотой основания.
Высота правильного треугольника по формуле равна h=(√3/2)*a.
Эта высота является и медианой, значит она делится точкой О
(центром основания) в отношении 2:1, считая от вершины.
ОС=(2/3)*h=(√3/3)*a.
OH=(1/3)*h=(√3/6)*a.
Тогда значение угла наклона боковых ребер к основанию найдем из прямоугольного треугольника AOS:
tgα=OS/OC = 2a/(√3*a/3)=2√3 ≈3,46.
α=arctg(3,46). α ≈73,9°
Значение угла наклона боковых граней к основанию найдем из прямоугольного треугольника НOS:
tgβ=OS/OH = 2a/(√3*a/6)=4√3 ≈6,93.
β=arctg(6,93). β ≈81,8°.