1. У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 15см і 8см. Знайти периметр трикутника. 2. Знайти катет ВС прямокутного трикутника АВС, ˪В = 90˚, якщо АС = 12см, cos⁡С= 2/3 .
3. Бічна сторона і менша основа рівнобічної трапеції відповідно дорівнюють 4см і 7см. Бічна сторона утворює з більшою основою кут 60˚. Знайти периметр трапеції.
4. Висота NF трикутника MNK ділить його сторону MK на відрізки МF і FС. Знайти довжину відрізка MN, якщо FK = 6√3 см, MF = 8 см, кут K дорівнює 30˚.
5. У трикутнику АВС кут А дорівнює 60˚, а кут С дорівнює 45˚, АВ = 10см. Знайти невідомі сторони трикутника.​

Соединим центр правильного многоугольника с вершинами. ΔАОВ - один из образовавшихся треугольников. Проведем в нем высоту ОН.

Тогда ОА = ОВ = R = 8, радиус описанной окружности,

OH = r = 4√3, радиус вписанной окружности для многоугольника.

∠АОВ = 360° / n, где n - количество сторон многоугольника, тогда

α = ∠АОВ / 2 = 180°/n.

Из прямоугольного треугольника АОН:

cosα = r / R = 4√3 / 8 = √3/2, ⇒

α = 30°

180° / n = 30°

n = 6

Т.е. это правильный шестиугольник.

А в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.

ответ: 8.

Обозначим длину прямоугольника A (см), а его ширину -  B (см). По условию его периметр равен 544 (см), т.е. 2*(A+B)=544 (см). Также по условию известно, что его стороны пропорциональны числам 5 и 12, то есть длина относится к 12 (большая сторона соотносится с большим числом) также, как и ширина относится к 5, получаем: A/12=B/5. Выразим A=(12*B)/5  и подставим в периметр: 2*((12/5)*B+B)=544→2*((17/5)*B)=544→(17/5)*B=272→B=(272*5)/17=80 (см) - ширина прямоугольника. Тогда длина A=(12*80)/5=192 (см). Диагональ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: √(192²+80²)=√(36864+6400)=208 (см). ответ: 208 см.