1. Точки Ми N являются серединами сторон AB и ВС треугольника
ABC. Сторона AC равна 57. Найдите MN.​

сделаем построение по условию 

гипотенуза АВ

угол <C =90

ЕМ =  4√5

АС=ВС=16см  <----катеты   равны

треугольник равнобедренный  , значит <A=<B=45 град

ПРОВЕДЕМ  из точки Е  перпендикуляр ЕB1  до прямой BС 

ЕB1 || AC  и   т. Е  - середина АВ -значит  ЕB1 -средняя линия

EB1 = 1/2*AC =1/2*16 = 8 см <---в)Расстояние между прямыми ЕМ и ВС 

ПРОВЕДЕМ  из точки Е  перпендикуляр ЕС1  до прямой АС 

ЕС1 || BC  и   т. Е  - середина АВ -значит  ЕС1 -средняя линия

EC1 = 1/2*CB =1/2*16 = 8 см

проведем наклонную  МС1 - по теореме о тех перпендикулярах  МС1 тоже перпендикулярна  к АС - значит это и есть расстояние от точки М до прямой АС 

тогда треугольник МЕС1 - прямоугольный

по теореме Пифагора  

MC1^2 = ЕM^2 +EC1^2 = (4√5)^2 + 8^2 = 144

MC1 =12 см  <-------a)

в треугольнике АСМ  

МС1 - высота

точка С1 - середина АС - значит равнобедренный  AM = MC 

площадь треугольника АСМ  S(ACM) =1/2*AC*MC1 =1/2*16*12=96  см2

его проекции на плоскость -  это треугольник АЕС с высотой ЕС1  и основанием АС

площадь проекции Sпр = 1/2*EC1*AC =1/2*8*16 = 64 см2

 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.
           АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁.
Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:

Наложим треугольники друг на друга так, чтобы угол А совпал с углом А₁.
Тогда совпадут и лучи АВ с А₁В₁  и АС с А₁С₁.
Так как АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут.
Так как АС = А₁С₁, точки С  и С₁ тоже совпадут.
Через две точки можно провести единственную прямую, поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁.
Так как треугольники совпали при наложении - они равны.