1) Шар радиусом R описан вокруг правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой образуют с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды. 2) Дан куб АВСДА1В1С1Д1, ребро которого равно 1. Точки М и К - середины ребер АД и СД соответственно. Постройте сечение этого куба, которое проходит через точки М, К и В1, и выясните, какой геометрической фигурой является это сечение (доказать). Найдите площадь сечения.
Объяснение: Через две пересекающиеся прямые AC и BD проведём плоскость АВСD. Четырёхугольник ABCD лежит в одной плоскости, так как две пересекающиеся прямые АС и BD определяют единственную плоскость. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны⇒ АВ ║CD. Тогда треугольникм АКВ и CKD подобны по двум углам (имеем даже три равных угла - <CKD=<AKB как вертикальные, а <BAC(BAK)=<ACD(KCD) и <ABD(ABK)=<BDC(KDC) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущих АС и BD соответственно). Коэффициент подобия равен k=AB/CD=1/2. Из подобия имеем: KB/KD=1/2 => KD=KB*2 = 10см.
ответ: KD=10см.