1. Пряма p паралельна прямій q, яка належить площині ɣ. Чи може пряма р бути паралельною площині ɣ? Відповідь поясніть.
2. Пряма а перпендикулярна до площини α і паралельна площині β. Яке взаємне розміщення площин α і β?
3. Через вершину С трикутника АВС, у якому АС = ВС, проведено перпендикуляр КС до площини трикутника. Знайдіть кут між площинами АВС і АВК, якщо АВ = 12 см, АК = 10 см, КС = 4 см.
4. Точка F рівновіддалена від усіх вершин прямокутника зі сторонами 12 см і 16 см і знаходиться на відстані 5 см від площини прямокутника. Знайдіть відстань від точки F до вершин прямокутника.
5. Точка К знаходиться на відстані 4 см від площини α. Похилі КА і КВ утворюють з площиною α кути 45° і 30° відповідно, а кут між похилими дорівнює 135°. Знайдіть відстань між точками А і В.
6. Точка D знаходиться на відстані 4 см від кожної із вершин правильного трикутника АВС, сторона якого = 6 см. Знайдіть відстань від точки D до площини АВС.
7. Прямокутний трикутник із гіпотенузою 32 см і гострим кутом 60° вписано в коло. Із центра О кола до його площини проведено перпендикуляр ОН. Знайдіть відстань від точки Н до катетів трикутника, якщо ОН = 6 см.
Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).
Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК АВС (мал. 417).2) КМ АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку
обозначим < ABD через α
тогда <BAD = 180 -2α
<BAD = DAC = 180 - 2α(AD -биссектриса)
<BAC = 2*<BAD = 360 - 4α (AD - биссектриса)
<DAC = <DCA = 180 - 2α (углы при основе равнобедреного ∆ADC (AD = DC по условию)
<ABC + <BAC + <DCA = 180 (сумма углов треугольника ровна 180 градусов)
α + 360 - 4α + 180 - 2α = 180
540 - 5α = 180
5α = 540 - 180
5α = 360
α = 72 °
<ABC = α = 72 °
<BAC = 360 - 4α = 360 -288 = 72°
<BCA = 180 - 2α =180 - 144 = 36° - это и есть меньший угол треугольника
ответ: <BCA = 36°
Отметь лучший ответ!