1. про выпуклый четырёхугольник abcd известно, что ab=5, bc=7, cd=8, ad=9. в треугольники abd и bcd вписаны окружности, касающиеся диагонали bd в точках x и y соответственно. найдите длину отрезка xy. 2. про треугольник abc известно, что ab=10, ac=16, bc=9. на стороне bc выбрана точка d. окружности, вписанные в треугольники abd и acd, касаются отрезка ad в точках x и y. чему равна длина отрезка xy, если a) d — это середина bc? b) d — это точка касания вписанной окружности со стороной bc?
1. XY = 1,5 ед.
2. а) XY = 3 ед. б) XY = 0.
Объяснение:
1. Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно
d = p - c, где р - полупериметр, а "с" - сторона, противоположная вершине.
В нашем случае:
В треугольнике ABD полупериметр
р = (АВ+ВD+AD)/2 = (14+BD)/2 =>
BX = p - AD = p - 9. DX = p - AB = p - 5. =>
DX -BX = 4. (1)
В треугольнике BCD полупериметр
р = (BC+CD+BD)/2 = (15+BD)/2 =>
BY = p - CD = p - 8. DY = p - BC = p - 7. =>
DY -BY = 1. (2)
Тогда (1) - (2) = (DX-DY) + (BY-BX) = 3.
Но (DX-DY) = (BY-BX) = XY. Значит 2·XY = 3 =>
XY = 1,5 ед.
2. a) Для треугольника АВD: AB = 10 ед, BD = 4,5 ед.
В треугольнике ABD полупериметр
р = (АВ+ВD+AD)/2 =>
AX = p - BD = p - 4,5. DX = p - AB = p - 10. =>
AX -DX = 5,5. (1)
Для треугольника АCD: AC = 16 ед, CD = 4,5 ед.
В треугольнике ACD полупериметр =>
р = (АC+CD+AD)/2 =>
AY = p - CD = p -4,5. DY = p - AC = p - 16. =>
AY -DY = 11,5. (2)
Тогда (2) - (1) = (AY-AX) + (DX-DY) = 6.
Но (AY-AX) = (DX-DY) = XY. Значит 2·XY = 6 =>
XY = 3 ед.
б) Для треугольника АВС полупериметр
р = (АВ+ВC+AC)/2 = 35/2 = 17,5 =>
BD = p - AC = 17,5 - 16 = 1,5. CD = 17,5 - 10 =7,5. Тогда
В треугольнике ABD =>
AX = p - BD = p -1,5. DX = p - AB = p - 10. =>
AX -DX = 8,5. (1)
В треугольнике ACD =>
AY = p - CD = p -7,5. DY = p - AC = p - 16. =>
AY -DY = 8,5. (2)
Тогда (2) - (1) = (AY-AX) + (DX-DY) = 0. =>
XY = 0 ед.