1) Построить треугольник с циркуля и линейки: а) по двум сторонам и углу между ними; б) разделите отрезок на 4 равные части (отрезок 12 см); в) начертите произвольный треугольник АВС. И постройте его биссектрису СК.
Этот ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ треугольник обладает удивительным свойством - биссектриса CD делит его на два равнобедренных треугольника.
В самом деле, угол ВСА = (180 - 36)/2 = 72 градуса = угол ВАС, => угол BCD = 72/2 = 36 градусов, и => СD = BD = 3. На самом деле задача УЖЕ РЕШЕНА - отношение равно 3/5 - это отношение BD/AB. В самом деле, если обозначить расстояние от точки С до АВ, как h, то Sabc = AB*h/2, Sdbc = BD*h/2, Sdbc/Sabc = BD/AB = 3/5.
Но для полноты картины заметим, что угол CDA = угол САВ + угол BCD = 72 градуса = угол САВ, поэтому CD = AC = 3, то есть нам известны все стороны треугольника АВС :) - это 5, 5 и 3.
В результате мы получаем, что 3/5 = 2/3, что НЕВОЗМОЖНО. ПОЭТОМУ такого треугольника, как указано в задаче, НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Размеры 5 и 3 противоречат условию, что угол при вершине - 36 градусов. :
Поэтому сделаем так - если задана боковая сторона 5, и угол при вершине 36 градусов, сосчитаем величину основания AC, биссектрисы CD и отрезка BD, которые РАВНЫ между собой. Обозначим CD = x. По свойству биссектрисы имеем
Именно такова длина биссектрисы CD в ПРАВИЛЬНОМ условии. И отношение Sdbc/Sabc = BD/AB в реальности равно (корень(5) - 1)/2;
Справедливости ради стоит отметить, что 5*(корень(5) - 1)/2 примерно равно 3,09016994374947, то есть не сильно отличается от 3. Почти как в старом грузинском анекдоте ("ну, 2х2 где-то 7 или 8, но не 49 же")
В трапеции треугольники, образовавшиеся при пересечении диагоналей, подобны.
Коэффициент подобия
k= ⁹/₁₁
Cтороны треугольников, составленные отрезками диагоналей, тоже относятся как
9:11
Найдем эти стороны:
Диагональ 12 делится точкой пересечения со второй диагоналлью в отношении 9:11 ( всего на 20 частей)
12:20=0,6 - величина одной части.
9*0,6=5,4 ( это меньшая сторона верхнего треугольника)
11*0,6=6,6 - это меньшая сторона нижнегоо треугольника.
16:20-0,8
0,8*9=7,2 - это большая сторона верхнего ( меньшего) треугольника
0,8*11=8,8 - большая сторона нижнего ( большего ) треугольника.
По формуле Герона найдем площади обоих треугольников.
Вычисления приводить не буду,
S₁=19,44 см
S₂=29,04см₂
Из формулы площади треугольника найдем высоту h
h=S:1/2a
h₁= 19,44:(9:2)=4,32 см
h=₂=29,04:(11:2)=5,28
Сложив высоты треугольников, получим высоту трапеции:
4,32+5,28=9,6 см
ответ: высота трапеции 9,6 см
Этот ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ треугольник обладает удивительным свойством - биссектриса CD делит его на два равнобедренных треугольника.
В самом деле, угол ВСА = (180 - 36)/2 = 72 градуса = угол ВАС, => угол BCD = 72/2 = 36 градусов, и => СD = BD = 3. На самом деле задача УЖЕ РЕШЕНА - отношение равно 3/5 - это отношение BD/AB. В самом деле, если обозначить расстояние от точки С до АВ, как h, то Sabc = AB*h/2, Sdbc = BD*h/2, Sdbc/Sabc = BD/AB = 3/5.
Но для полноты картины заметим, что угол CDA = угол САВ + угол BCD = 72 градуса = угол САВ, поэтому CD = AC = 3, то есть нам известны все стороны треугольника АВС :) - это 5, 5 и 3.
В результате мы получаем, что 3/5 = 2/3, что НЕВОЗМОЖНО. ПОЭТОМУ такого треугольника, как указано в задаче, НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Размеры 5 и 3 противоречат условию, что угол при вершине - 36 градусов. :
Поэтому сделаем так - если задана боковая сторона 5, и угол при вершине 36 градусов, сосчитаем величину основания AC, биссектрисы CD и отрезка BD, которые РАВНЫ между собой. Обозначим CD = x. По свойству биссектрисы имеем
x/5 = (5-x)/x; x^2 + 5*x - 25 = 0; Отсюда х = 5*(корень(5) - 1)/2.
Именно такова длина биссектрисы CD в ПРАВИЛЬНОМ условии. И отношение Sdbc/Sabc = BD/AB в реальности равно (корень(5) - 1)/2;
Справедливости ради стоит отметить, что 5*(корень(5) - 1)/2 примерно равно 3,09016994374947, то есть не сильно отличается от 3. Почти как в старом грузинском анекдоте ("ну, 2х2 где-то 7 или 8, но не 49 же")