1. Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и К соответственно. Найдите длину отрезка МК, если АВ = 18 см, ВМ = 12 см, АС = 8 см. 2. Через точку В, расположенной между плоскостями α и β, проведены две прямые, которые пересекают эти плоскости в точках А и А₁, В и В₁. Найти А₁В₁, если АВ = 20 см, АО = 8 см, ОА₁ = 12 см.

В треугольнике АВС через вершину С проведена прямая, параллельная
биссектриссе ВД и пересекающая прямую АВ в точке К.
ВЕ-высота треугольника АВС.
Сравните отрезки ВЕ ВК

Рассмотрим треугольники  АВС и ВКС.

∠ АВД =∠ ВКС как углы при параллельных ВД и СК и секущей АК

∠ДВС=∠ ВСК как углы при параллельных ВС и СК и секущей ВС.

Но ∠ АВД=∠ДВС как половины ∠АВС, разделенного биссектрисой ВД.

Δ КВС - равнобедренный с равными углами при основании КС.

  ВК=ВС.

ВЕ - перпендикуляр, ВС - наклонная.

Наклонная всегда имеет большую длину, чем перпендикуляр.

А так как ВС=ВК, то ВК > ВЕ

Третий угол NMK равен 180 - (72 + 64) = 44. 

Надо провести радиусы в точки касания. 

В четырехугольнике MAOC два угла прямые, поэтому угол АОС = 180 - угол NMK (или, что то же самое, угол АМС) = 180 - 44 = 136 градусов. Это центральный угол дуги АС. Угол АВС опирается на неё и поэтому равен 136/2 = 68 градусов.

Точно так же из четырехугольника NAOB находится дуга АВ = 180 - 72 = 108 градусов, угол АСВ = 108/2 = 54 градуса.

Ну, дугу ВС и третий угол треугольника АВС сосчитайте сами тем же и потом  проверьте, что сумма их равна 180 градусов (а сумма дуг - 360).