1. Один з кутів паралелограма в 3 рази більший за інший. Знайдіть усі кути паралелограма.

2. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону навпіл. Менша

сторона прямокутника дорівнює 5 см. Знайдіть периметр прямокут-

ника.

3. Один з кутів ромба дорівнює 120°, а діагональ, яка виходить з вер-

шини цього кута, дорівнює 10 см. Знайдіть периметр ромба.

4. Доведіть, що якщо діагоналі прямокутника перпендикулярні, то він є

квадратом

Надо разложить векторы p и q по координатным осям.

Пусть вектор p  направлен по оси Ох, вектор q под углом 90 градусов.

Получим координаты: p = (10; 0),  q = (0; 1)).

Переходим к векторам a и b.

a =3p + 2q = (3*10 + 2*0 ; 3*0 + 2*1) = (30; 2). Модуль |a| = √904.

b = p - q = (10 - 0; 0 - 1) =  (10; -1).                     Модуль |b| = √101.

Большая диагональ d1 = a + b = (30 + 10; 2 - 1) = (40; 1).

Её длина |d1| = √(40² + 1²) = √1601 ≈ 40,0125

Меньшая диагональ d2 = a - b = (30 - 10; 2 + 1) = (20; 3).

Её длина |d2| = √(20² + 3²) = √409 ≈ 20,224.

Находим угол между диагоналями d1 (40; 1) и d2(20; 3).

По скалярному произведение векторов.

cos A = |40*20 + 1*3|/(√1601*√409) = 803/√654809 ≈ 0,99233.

Угол A = 0,1239   радиан или 7,099  градуса.

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов a и b или через две диагонали и синус угла между ними.

Находим векторное произведение векторов a(30; 2) и b(10; -1).

i       j      k |      i        j

30   2     0 |     30    2

10   -1     0 |     10     -1     =  0i + 0j - 30k - 0j - 0i - 20k = -50.

Площадь по модулю равна 50 кв.ед.

По диагоналям:

S =  (1/2)d1d2 sin γ = (1/2)*√1601 * √409 * sin 7,099° = (1/2)*100 = 50 кв.ед.

В параллелограмме ABCD  BD=10 см  AB = 12 см. Найдите  периметр ΔBOC ( О точка пересечения диагоналей) , если АС - BD = 8 см .

ответ:   ( 14+2√17 )  см

Объяснение:  АС - BD = 8 (см) ⇒ АС= BD + 8 см =10 см+8 см =18 см

P(ΔBOC) = BO + OC + BC = BD/2 +AC/2 + BC = 5+ 9 +BC = 14 + BC

* * * Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам * * *

Определим сторону  BC.  Известно:  2(a²+b²) =d₁ ²+d₂²

2(AB² +BC²) =BD² + AC² ⇔ 2(12² +BC²) =10² + 18²  ⇒ BC² =68 ;

BC =2√17  см

Окончательно:     P(ΔBOC)  = ( 14+2√17 )   ( см ) .