1. На рисунку прямі M і N — серединні перпендикуляри сторін АВ і AC трикутника АВС. Доведіть, що точка O рівнoвіддалена від усіх вершин
даного трикутника.

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с высотой угол в 30°.

==========================================================

▪В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Вершина такой пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей квадрата. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.▪Рассмотрим ΔАОМ: ∠АМО = 30°  ⇒  катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы  ⇒  АО = АМ/2 = 12/2 = 6 см  ⇒  AO = BO = CO = DO = 6 смПо т. Пифагора:АМ² = АО² + ОМ²ОМ² = АМ² - АО² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108ОМ = 6√3 см▪Рассмотрим ΔАОВ: по т. ПифагораАВ² = АО² + ВО² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72АВ = 6√2 смV mabcd = S осн. • H / 3 = AB² • MO / 3 = ( 6√2 )² • 6√3 / 3 = 72 • 6√3 / 3 = 144√3 см³ОТВЕТ: 144√3

Действительно, угол, который образуется высотой пирамиды и ребром равен 30°, значит, диагональ основания равна 12
мы знаем, что диагональ квадрата = а√2, где а - сторона квадрата
значит сторона основания = 12/√2
проведем высоту в боковой грани (т. е. апофему), получится, что высота пирамиды и высота боковой грани и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. из него найдем апофему (обозначим ее h)
12²=(6√2)²+h²
h²=72
h=√72
теперь найдем половину площади боковой грани, для этого h умножим на половину стороны и разделим на 2 (ведь это прямоугольный треугольник):

значит вся грань = 36*2=72
а у нас четыре таких грани, значит, площадь поверхности боковых граней будет равна 4*72=288
Sполное=288+(12√2)²=288+144*2=576
ответ: 576