№1) Изобразите прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Выпишите и отметьте на рисунке:
а) Пару равных векторов
б) Пару коллинеарных противоположно направленных векторов
в) Пару ортогональных (перпендикулярных) векторов
г) Тройку компланарных векторов
№2
Заданы векторы:a(2;m;-3)и b(1;-1;5)
Существует ли такое значение m, при котором:
а) Эти векторы коллинеарны
б) Угол между этими векторами – прямой ( ).
Если да, то найдите это значение для каждого из случаев. Запишите полное решение, используя условие коллинеарности и условие ортогональности (перпендикулярности) векторов.
№3)
Задан куб ABCDA1B1C1D1 с ребро единичной длины. Точка M – середина ребра BB1.
а) Изобразите это куб, а также систему координат, поместив её начало в точку B. Укажите координаты точек A, M, D и B1
б) Найдите расстояние между точками A и М, используя формулу расстояния между точками в пространстве
в) Найдите косинус угла между указанными векторами cos(AM;B1D)
Дано:
<AOB и <COD
<COD внутри <AOB
AO ┴ OD; CO ┴ OB;
<AOB - <COD = 90°
Найти: <AOB и <COD.
Решение
Т.к . AO ┴ OD; CO ┴ OB,
то <AOD = 90; <COB = 90°.
<COD = <AOD - <AOC
<COD = <COB - <DOB
<COD = 90° - <AOC
<COD = 90° - <DOB
Получим
<AOC = 90° - <COD
<DOB = 90° - <COD
Следовательно <AOC = <DOB
2) По условию: <AOB - <COD = 90°
Но если от всего угла <AOB отнять <COD, то останутся два равных угла <AOC и <DOB, значит, это их сумма равна 90°.
<AOC + <DOB = 90° =>
<AOC = <DOB = 90°/2 = 45°
3) <COD = 90° - <DOB
<COD = 90° - 45°=45°
4) <AOB = <AOC + <DOB + <DOB
<AOB = 45° + 45° + 45° = 135°
ответ: <AOB - 135°; <COD=45°
известно: вписанный прямой угол опирается на диаметр, т.е. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности --это середина гипотенузы.
в основании египетский треугольник, т.е. гипотенуза =10
высота пирамиды --это высота боковой грани (треугольника со сторонами 13, 13, 10)
h² = 13² - 5² = (13-5)(13+5) = 8*18
h = 4*3 = 12