1. Гипотенузы двух прямоугольных треугольников равны. Один из углов первого треугольника равен 40 градусов, а один из углов второго - 50 градусов. Равны ли эти треугольники?
2. В прямоугольных треугольниках АВС и МОК равны катеты АВ и МО, ВС и ОК. Обязательно ли эти треугольники равны?
3. В прямоугольном треугольнике МКО гипотенуза КО и катет ОМ равны соответственно 13 см и 7 см. В треугольнике АСЕ гипотенуза СЕ равна 13 см, а катет АЕ равен 7 см. Обязательно ли эти треугольники равны?
4. В прямоугольных треугольниках АВС и ХТУ равны гипотенузы АВ и ХТ и катеты ВС и ТУ. Обязательно ли эти треугольники равны?
5. Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота ВСД. Найдите угол СВД, зная, что угол А=65 градусов.
ΔCDB - прямоугольный. R=1/2·BC.(Радиус окружности ,описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы)
S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB·BC/AB·BC ⇒ S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB/BC (1)
S(ΔDBC)=1/2 DB·DC=1/2·DB·12=6·DB S(ΔDBC) = 6·DB
S(ΔABC)=1/2 AC·BE =1/2AC·10= 5·AC S(ΔABC)=5·AC
Получили,что S(ΔDBC)/ S(ΔABC) = 6·DB /5·AC (2)
Следовательно, DB / BC = 6·DB / 5·AC ⇒ 5AC=6BC (3)
Из Δ ВЕС найдём ЕС =х по т. Пифагора : ЕС²=ВС²-ВЕ²
х²=а²-10² ⇒ х=√а²-100 АС=2х=2·√а²-100
Используем (3) равенство : 5 АС=6 ВС и АС=2х ⇒
5·2√а²-100 = 6а ⇒ 100·(а²-100)=36 а² ⇒ 64 а²=10000
а²=10000 / 64 ⇒ а=100 / 8 R = 1/2 a = 50/8 = 25 / 4
Являются доказанными такие свойства равнобедренного треугольника:
- равенство углов при основании,
- совпадение проведенных из вершины биссектрисы, медианы и высоты с осью симметрии треугольника,
- равенство между собой двух других биссектрис (медиан, высот),
- пересечение биссектрис (медиан, высот), проведенных из углов при основании, в точке, лежащей на оси симметрии.
Наличие одного из этих признаков является доказательством того, что треугольник равнобедренный.