1. Если изображение точки A (-2; 3) при параллельном копировании является точкой B (-3; 5), то найдите координаты изображения точки C (4; -3) во время этого параллельного копирования. А) (-3; -1); Б) (-3; 1); С) (3; -1); Г) (3; 1). [1] 2. При каких значениях x и y точки A (x; -2) и B (3; y) более симметричны, чем точка H (0; 1)? А) n = - 3, m = 4; Б) n = - 2, m = 3; В) n = 2, m = –3; Г) n = 3, m = –4. [1] 3. Координаты вершин треугольника ABC: A (-2; 4), B (3; -2) и C (-1; -3). Если точка B переместится в точку C при копировании треугольника ABC параллельно, найдите координаты изображения точки A. А) (-6; -3); Б) (-6; 3); С) (6; -3); Г) (6; 3). [1] 4. Рисунки A, B и C показаны в координатной плоскости.
a) Вращая фигуру A, получается фигура B. Найдите угол и направление вращения.
[1]
5. Отрезок RQ является биссектрисой треугольника PRS. Найдите PQ и QS, если PR = 14 см, RS = 21 см и PS = 20 см.
6. В треугольнике ADC точка M находится на стене AD, а точка N - на стене AC. Если MD = 4, NC = 5, AN = x, AD = 11 и DC∥ MN, найдите длину отрезка AN.
7. Площадь двух одинаковых треугольников 75 м2 и 300 м2. Если сторона второго треугольника равна 9 м, найдите длину стороны первого треугольника, которая соответствует этой стороне.
8. Если треугольники ABC и PQR подобны, найдите стороны AB, BC, AC. Q B х у 12 18
1) Сначала, используя основное свойство параллелограмма, находим АС. Напомню это свойство: AC^2 + BD^2 = 2*(AB^2 + AD^2).
2) Рассматриваем треугольник AKB. Из теоремы косинусов:
AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2*AK*BK*cosAKB -
выражаем cosAKB.
3) Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1, - чтобы найти sinAKB. Так как угол AKB меньше 180 градусов, то его синус положительный.
4) Находим площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними по формуле: S = 0,5*BD*AC*sinAKB. Вообще, строго говоря, нужно брать острый угол как угол между диагоналями, то есть угол CKB, но так как их синусы равны, то это не имеет значения.
5) Вспоминаем, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих (равных по площади) части, то есть площадь одной такой части будет равна одной четвертой площади параллелограмма. Отсюда площадь треугольника ABK S = Sпар/4.
а) радіус R кола, описаного навколо основи піраміди.
Радиус R равен половине диагонали квадрата основания.
Проекция апофемы на основание равна 4 см, так как равна высоте пирамиды.
Тогда половина диагонали равна 4√2 см и равна R.
ответ: R = 4√2 см.
б) радіус r кола, вписаного в основу піраміди.
Радиус r равен половине стороны основания и равен проекции апофемы на основание (найдена выше).
ответ: радиус r равен 4 см.
в) площу основи піраміди.
Сторона основания а = 2r = 2*4 = 8 см.
ответ: S = a² = 8² = 64 см².
Полное решение прикрепляю.
Идея решения:
1) Сначала, используя основное свойство параллелограмма, находим АС. Напомню это свойство: AC^2 + BD^2 = 2*(AB^2 + AD^2).
2) Рассматриваем треугольник AKB. Из теоремы косинусов:
AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2*AK*BK*cosAKB -
выражаем cosAKB.
3) Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1, - чтобы найти sinAKB. Так как угол AKB меньше 180 градусов, то его синус положительный.
4) Находим площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними по формуле: S = 0,5*BD*AC*sinAKB. Вообще, строго говоря, нужно брать острый угол как угол между диагоналями, то есть угол CKB, но так как их синусы равны, то это не имеет значения.
5) Вспоминаем, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих (равных по площади) части, то есть площадь одной такой части будет равна одной четвертой площади параллелограмма. Отсюда площадь треугольника ABK S = Sпар/4.