1. Довести, що число A = 2018 2017 + 2019 2018
+1 є складеним.
2. Знайти тризначне число abc , таке що чотиризначні числа abcl, 2abc
задовольняють рівняння abc1 = 3. 2abc
3. В середині кута АОВ, рівного 120°, проведені промені ОС і OD так, що
кожен з них є бісектрисою якогось із кутів, що утворилися при цьому.
Знайдіть величину кута АОС. Укажіть всі можливі варіанти.
4 Сім'я складається з трьох осіб – тата, мами та сина. Якщо тату збільшать
вдвічі зарплату і сину збільшать вдвічі стипендію, то сімейний бюджет
збільшиться на 80%. Якщо мамі збільшать в тричі зарплату і сину
збільшать в тричі стипендію, то сімейний бюджет збільшиться на 60%. На
скільки відсотків зменшиться сімейний бюджет, якщо мамі й тату в двічі
зменшать зарплату?
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301
Произведения длин отрезков, на которые разбита точкой пересечения каждая из хорд, равны.
Пусть это будут хорды АВ и СМ, Е -точка их пересечения.
АЕ=ВЕ, СЕ=3, МЕ=12
Сделаем рисунок. Соединим А и М, С и В.
Рассмотрим получившиеся треугольники АЕМ и ВЕС
Они имеют два угла, опирающихся на одну и ту же дугу, следовательно, эти углы равны. Третий их угол также равен. ⇒
Треугольники АЕМ и ВЕС подобны
Из подобия следует отношение:
АЕ:СЕ=МЕ:ВЕ
АЕ*ВЕ=СЕ*МЕ
Так как АЕ=ВЕ, то
АЕ²=3*12=36
АЕ=√36=6,
АВ=2 АЕ=12 см