1. Даны точки M (0;-3;1), N (1;-2;3), С (2;-3;1), K (-4;3;1). а) найдите координаты вектора СK.
б) найдите длину вектора MN.
2. Даны векторы (3;-2;-4) и (2;-7;1) . Найти координаты 2 – .
3. Найдите координаты середины отрезка, если его концы имеют
координаты А (-3; 2; - 4), В (1; - 4; 2).
4. Найдите значения m, при которых векторы {–3; 2; 5} и {m; –6; -3} будут перпендикулярны.
5. Даны векторы а{3;-1;1}, b{-5;1;0}. Выясните, какой угол (острый, прямой, тупой) между данными векторами.
6. Докажите, что ABCD — квадрат , если А (-2; 1; -2), В(0; -2; 4), С(3;4; 6), D(1; 7; 0).

хотя бы на три вопроса ответить

Если известны длины всех сторон , то высоту найдем по формуле

h = 2/a √p(p-a)(p-b)(p-c),

где h - длина высоты треугольника, p - полупериметр, a - длина стороны, на которую падает высота, b и c - длины двух других сторон треугольника.

1) р=(17+65+80):2=81

Наименьшая высота падает на наибольшую сторону, поэтому

h = 2/80 * √(81*64*16*1) = 1/40 * √82944 = 1/40 * 288 = 7,2

2) р=(8+6+4):2=9

Наименьшая высота падает на наибольшую сторону, поэтому

h = 2/8 * √(9*1*3*5) = 1/4 * √135 = 1/4 *  3√15= 0,75√15

3)  р=(24+25+7):2=28

Наименьшая высота падает на наибольшую сторону, поэтому

h = 2/25 * √(28*4*3*21) = 2/25 * √7056 = 2/25 * 84 = 6,72

4) ) р=(30+34+16):2=40

Наименьшая высота падает на наибольшую сторону, поэтому

h = 2/34 * √(40*10*6*24) = 1/17 * √57600 = 1/17 * 240 = 1  17/70.

Угол между плоскостью основания и противолежащей вершиной другого основания - это угол ОКС. Поскольку все ребра перпендикулярны основаниям, то треугольник КОС - прямоугольный с прямым углом С. И поскольку угол ОКС = 30 градусов, то катет ОС равен половине гипотенузы ОК как катет, что лежит против угла 30 градусов. ОК = 2СО = 6*2 = 12 см. Из теоремы Пифагора: CK^2 = OK^2 - OC^2, CK^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108, CK = 6 корней из 6. Из правильного треугольника АВС: высота СК = 6 корней из 3, которая является также и медианой, поэтому АК = КВ = СВ/2. Из прямоугольного треугольника СКВ: угол СВК = 60 градусов как угол правильного треугольника. По теореме синусов: СК/sin(CBK) = CB/sin(CKB), CB = 12. Площадь треугольника равна 36 корней из 3 см^2. Объем призмы равен площади основания, умноженного на высоту: V = So*H = S(ABC)*OC = 108 корней из 3 см^3.