1) Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС в точке А1, а сторону ВС в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если В1С = 15 см, ВС:АВ = 5:3.

2) Прямые АВ, АС, АD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок ВС, если АD = 4 см, АС = 8 см, BD = 7 см.

3) AD наклонная к плоскости α, BD - проекция наклонной AD. Найти расстояние от точки А до плоскости α, если AD = 15 см, BD= 9 см.

4) ABCD - квадрат, точка О - центр квадрата. Отрезок FO перпендикулярен плоскости квадрата. Найти FO, если BF = 10 см, а сторона квадрата 8√2.

Я формулировку теоремы не стала удалять (повторить всегда полезно))
но она и не пригодилась...
1/ отрезки касательных, проведенных из одной точки (К) равны...
DK=KC
2/ центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла))
ОК - биссектриса ∠DKC
∠DKO = ∠CKO
∠DOK = ∠COK
3/ вписанный угол равен половине градусной меры центрального, опирающегося на ту же дугу
∠DAC (опирается на дугу DC) = (1/2)∠DOC = ∠KOC
т.е. DA || KO
О --середина АС ---> KO --средняя линия, К --середина ВС
DK = KC = (1/2)BC = 6

Cечение, проходящее через вершины А,С и D1 призмы пройдет и через вершину F1, так как плоскость, пересекающая две параллельные плоскости (плоскости оснований), пересекает их по параллельным прямым, то есть по прямым АС и D1F1. В сечении имеем прямоугольник  со сторонами АС и СD1 (так как грани АА1F1F и CC1D1D параллельны между собой и перпендикулярны плоскостям оснований и, следовательно, углы сечения равны 90⁰). Причем отрезок СD1 (гипотенуза прямоугольного треугольника) по Пифагору равна 2√2. Половину стороны АС найдем из прямоугольного треугольника АВН, в котором <ABH=60°, а <BAH=30° (так как <АВС - внутренний угол правильного шестиугольника и равен 120°).  
0,5*АС=√(4-1)=√3. АС=2√3.
Площадь сечения равна 2√2*2√3=4√6.
ответ: S=4√6.