1. Дані дві прямі a i b, що перетинаються. Через точку А, яка лежить на прямій a, проведено прямі с паралельно прямій b. Скільки різних площин можна провести через ці прямі?
а) одну
б) дві
в) жодної
2. Скільки різних площин можна повести через одну пряму?
а) одну
б) дві
в) безліч
3. Дано площину a і точку М поза нею. Скільки існує різних прямих, які проходять через точку М і паралельні площині а.
а) одна
б) жодної
в) безліч
4. Точка М не лежить в площині чотирикутника ABCD. Прямі MD i BC:
а) паралельні
б) мимобіжні
в) перетинаються
5. Через три точки проведено дві різні площини, то ці точки
а) лежать на одній прямій
б) не лежать на одній прямій
в) дві з них лежать на одній прямій
6. Дві вершини і точка перетину діагоналей паралелограма лежать в площині а. Яке взаємне розміщення двох інших вершин паралелограма відносно площини а?
а) обидві не лежать на площині а
б) обидві лежать на площині а
в) одна з них лежить на площині а
7. Через точку О, розміщену між паралельними площинами проведено дві прямі, які перетинають першу площину в точках А1, В1, а другу - А2, В2. Прямі АВ і А1В1:
а) перетинаються
б) паралельні
в) мимобижні
8. Дано дві мимобіжні прямі a i b. Точки А і В лежать на прямій a, точки C i D - на прямій b. Прямі AC i BD:
а) паралельні
б) мимобижні
в) перетинаються
9. Площина a паралельна прямій b, а пряма b паралельна площині g, відмінної від a. Площини a i g:
а) перетинаються
б) паралельні
в) паралельні або перетинаються
10. Трикутники ABC i ABD лежать в різних площинах. Точки M i N -середини сторін AC i BC трикутника ABC. Пряма MN і площина трикутника ABD:
а) паралельні
б) перетинаються
в) MN лежить в площині трикутника
11. Дано площину g і пряму a, яка їй не належить. Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму a і паралельні площині g
а) безліч
б) дві
в) одна або жодної
12. Дано дві площини a i g, які не перетинаються. Точка М не належить жодній з них. Скільки існує прямих, які проходять через точку М і паралельні площинам a i g?
а) жодної
б) одна
в) безліч
1) Проведём произвольно наклонную(ребро двугранного угла).По левую сторону от неё обозначим точку А и опустим из неё перпендикуляр на ребро в точку С1 . По правую сторону от линии ребра отмети м точку А1. Соединим её с точками А и С1. Получим прямоугольный треугольник АС1А1.(на чертеже углы выглядят произвольно). В данном треугольнике АС1=51 расстояние до ребра первой точки. АА1 расстояние от точки до другой грани. Угол АА1С прямой . Аналогично строим второй треугольник ВВ1С2. Эти треугольники подобны поскольку они прямоугольные (АА1 и ВВ1 перпендикулярны к грани) и уних общий линейный угол двугранного угла. Отсюда АА1/АС1=х/34. Где x расстояние до грани от другой точки. x=15*34/51=10.
2)10 сантиметров.
Объяснение:
из KN||AC и AK=KB мы узнаем, что KN является средней линией треугольника ABC.
т.к. KN - средняя линия, ее длина равняется половине АС, то есть 6 сантиметрам.
т.к. отрезок МК перпендикулярен плоскости треугольника АВС треугольник MKN является прямоугольным.
По теореме Пифагора MN^2=MK^2+KN^2
MN^2=6^2+8^2
MN^2=36+64
MN=10 см
1. Найдем направляющий вектор прямой, являющейся пересечением плоскостей x-2y+3z-4=0 и x+y-5z+9=0. Для этого вспомним, что в уравнении плоскости:
ax + by + cz + d = 0
коэффициенты (а, b, c) являются координатами вектора n, ортогонального плоскости. Так что мы имеем два вектора n1(1, -2, 3) и n2(1, 1, -5), которые ортогональны нашим плоскостям. Т. к. наша прямая лежит одновременно в обоих плоскостях, то она ортогональна обоим векторам n1 и n2. Соответственно направляющим вектором этой прямой может быть вектор, равный векторному произведению [n1, n2]. Итак, составляете матрицу векторного произведения, раскладываете ее по строке с символами i j k и получаете координаты направляющего вектора.
2. Т. к. плоскость параллельна оси ОХ, то на искомой плоскости всегда можно построить вектор с координатами (1, 0, 0). Действительно, предположим мы возьмем на плоскости точку М с координатами (а, b, c). Тогда на плоскости имеется и точка М1(a+1, b, c). Ведь если мы проведем из точки М (a, b, c) прямую, параллельную оси ОХ, то у всех точек этой прямой координаты у и z будут одинаковы, а изменяться будет лишь координата х.
Найдем координаты вектора ММ1(a +1 - a, b - b, с - с) = (1, 0, 0)
3. Теперь найдем точку, принадлежащую искомой плоскости. Предположим эта точка лежит на прямой пересечения двух плоскостей x-2y+3z-4=0 и x+y-5z+9=0. Предположим также, что координата z этой точки равна 0. Тогда, подставив в уравнения плоскостей z = 0 получим систему уравнений:
x - 2y - 4 = 0
x + y + 9 = 0
Решая эту систему получаем:
х = -14/3
y = -13/3
Итак мы нашли координаты точки А (-14/3, -13/3, 0), которая принадлежит искомой плоскости.
4. Теперь возьмем на искомой плоскости произвольную точку Х (х, y, z) и найдем координаты вектора АХ (x +14/3, y + 13/3, z) который пробегает все точки плоскости.
5. Таким образом у нас есть 3 вектора: направляющий вектор прямой, координаты которого Вы нашли в п. 1, вектор ММ1(1, 0, 0) и вектор АХ (x +14/3, y + 13/3, z). Все эти векторы компланарны. А это значит, что их смешанное произведение равно 0. Теперь составляем матрицу смешанного произведения этих векторов, поставив на первую строчку координаты вектора АХ (x +14/3, y + 13/3, z). Далее разложив матрицу по первой строке, приведя коэффициенты при х, у, z и приравняв полученное выражение к 0 Вы получите искомое уравнение плоскости.
Успехов!
Объяснение: