1. Цилиндр 1) Дан цилиндр высотой 7 см и радиусом основания 4 см. Найдите площади боковой и полной поверхности цилиндра.
2) Радиус основания цилиндра равен 3 см, а высота 8 см. Найдите длину диагонали осевого сечения цилиндра.
3) Площадь боковой поверхности цилиндра составляет половину площади его полной поверхности. Диагональ осевого сечения равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
2. Конус
1) Диаметр основания конуса равен 24 см, а образующая 13 см. Найдите площади боковой и полной поверхности, а также высоту конуса.
2) Радиус основания конуса равен 6 см, его высота 12 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси конуса на расстоянии 2 см от нее.
3. Усеченный конус
1) Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 и 11 см. Образующая 13 см. Найдите площади боковой и полной поверхности, а также высоту этого конуса
2) Диаметры оснований усеченного конуса равны 14 и 48 см. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
S бок = 2пRh = п(2 * 4 * 7) = 56п см²
S полн поверхности = 2пR(R + h) = п(8 * 4 + 8 * 7) = 88п см²
ответ: 56п см², 88п см²
(к 1 задаче рисунка нет)
Задача 1: 2)Так как h (на рисунке ОО1) = 8 см => АВ = CD = h = 8 см
D = 2R = 3 * 2 = 6 см => ВС = AD = D = 6 см
Найдём АС, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
c = √(a² + b²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см
ответ: 10 см.
Задача 1: 3)S бок = 0,5S полн поверхности, по условию.
S полн поверхности = 2S осн + S бок
2S бок = 2S осн+ S бок
S бок = 2S осн
2пRh = 2пR²
h = R
АС = 5 см, по условию.
Найдём радиус R, по теореме Пифагора, а именно составим уравнение:
с² = а² + b²
АС² = CD² + AD²
5² = R² + (2R)²
25 = 5R²
5 = R²
R = √5
Итак, R = √5 см
Мы узнали, что h = R => h = √5 см
=> S полн поверхность = 2пR(R + h) = 2п√(5)(√(5) + √(5)) = 20п см²
ответ: 20п см²
-------------------------------------2. Конус.Задача 2: 1)R = D/2 = 24/2 = 12 см
S бок = пRl = п(12 * 13) = 156п см²
S полн поверхности = S осн + S бок = пR² + пRl = 144п + 156п = 300п см²
Найдём h, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см
Итак, h = 5 см
ответ: 5см, 300п см², 156п см²
Задача 2: 2)Осевое сечение конуса (если ось плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота SO делит этот равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника KSO и CSO(их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что △KSC - равнобедренный)
Итак, △KSC - осевое сечение этого конуса.
SO - высота конуса.
MI - высота сечения, параллельного осевому.
△MCI подобен △SCO с коэффициентом подобия k = IC/OC
IC = OC - OI = 6 - 2 = 4 см
Итак, k = 4/6 = 2/3
MI = SO * k = 12 * 2/3 = 8 см
Рассмотрим △OIL:
OL = 6 см - радиус основания конуса.
OI = 2 см, по условию.
Найдём IL, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(6² - 2²) = √(36 - 4) = √32 = 4√2 см
S△LMT = 1/2MI * LT = IL * MI = 4√2 * 8 = 32√2 см²
ответ: 32√2 см²
-------------------------------------3. Усечённый конус.Задача 3: 1)NC = 6 см, по условию. (r)
KD = 11 см, по условию.(R)
LD = KD - NC = 11 - 6 = 5 см
Найдём высоту CL, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см
Итак, CL = 12 см
S бок = п(R + r) * l = (6 + 11) * 13 = 221п см²
S полн поверхности = п(R + r) * l + пR² + пr² = п(11 + 6) * 13 + п(11)² + п(6)² = 378п см²
ответ: 12 см, 221п см², 378п см².
Задача 3: 2)D = ВС = 14 см, по условию.
D = AD = 48 см, по условию.
R = BT = TC = D/2 = 14/2 = 7 см
R = AK = KD = D/2 = 48/2 = 24 см
TC = 7 см (r)
KD = 24 см (R)
FD = KD - TC = 24 - 7 = 17 см
Рассмотрим △FCD:
он прямоугольный, так как CF - высота..
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
=> ∠FCD = 90˚ - 60˚ = 30˚
Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.
=> CD = 17 * 2 = 34 см
S бок = п(R + r) * l = п(24 + 7) * 34 = 1054п см²
ответ: 1054п см² .