1. четырехугольник abcd - ромб. диагональ равна стороне ромба. найдите угол между векторами ав и cd

[2]

2. точка м лежит на стороне вс параллелограмма abcd, причем вм : мс - 5: 9. выразите вектор ам через векторы вс = и ba = b [2]

3. четырехугольник mkpn - параллелограмм. найдите км - кр +n

(2)

4. найдите модуль вектора ті -

+ 6b. = + =

(3)

5. даны векторы m(-4: 3), fi(5: 12)и ä(21x). найдите:

a) косинус угла между векторами т и

b) число х, если векторы т и коллинеарные.

c) число х, если векторы и перпендикулярны.

[6]

6. решите векторным методом. выполните рисунок. дан треугольник авс. известно, что ав = 4 см. вс = 6v3 см, = 30°. найдите длину медианы вм. (6)

Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки гипотенузы, на которые ее делит высота, т.к. высота - перпендикуляр к прямой ( гипотенузе), а катеты – наклонные из вершины прямого угла.  

Катет - среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на неё .

В треугольнике на рисунке приложения  

Катет Вс=30 см, а ВН=18 - его проекция на гипотенузу.  

BC²=АВ•НВ

900=АВ•18

АВ=900:18=50 см

Высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на подобные. Из подобия следует отношение:

АН:АС=АС:АВ

АН=50-18=32

32:АС=АС:50 ⇒  АС²=32•50    

АС=√1600=40 см

Если обратить внимание на отношение катета и гипотенузы 3:5 в ∆ ВСН, увидим, что этот треугольник - египетский. Отсюда следует АВ=50 см, (т.к. меньший катет=30). а АС=40 см. Получим длины сторон треугольника, отношение которых  3:4:5.

Объяснение:

а) Доказательство:

АВ = ВМ, по условию, значит треугольник АВМ - равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника угол ВАМ = углу ВМА.

По свойству параллелограмма ВС параллельно АD, АС - секущая, значит угол АМВ = углу МАD, из вышесказанного следует, что угол ВАМ = углу МАD, значит АМ - биссектрисса

б) Решение:

АВ = СD по свойству параллелограмма,а АВ = ВМ из доказательства. Значит АВ = ВМ = СD = 8 см

МС = 4 по условию. ВС = ВМ + МС = 8 + 4 = 12. По свойству параллелограмма ВС = АD = 12

теперь можем найти площадь: Р = АВ + ВС + СD + DА = 8 + 12 + 8 + 12 = 40 см