1. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника. 2. Через вершину квадрата АВСД проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что :
а) прямая АД перпендикулярна плоскости прямых АВ и ВМ.
б) Прямая СД перпендикулярна плоскости ВС и ВМ.
3. Через вершину А прямоугольника АВСД проведена прямая АК перпендикулярная его плоскости. Расстояние от т. К до других вершин прямоугольника 6м, 7м, 9м. Найдите отрезок АК.
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Чтобы доказать,что данная фигура является квадратом,нужно,чтобы стороны были попарно параллельны и длина каждой стороны должна быть одинаковой. P.S. С данными точками четырехугольник не является квадратом. Ты скорее всего потерял(а) в точке C знак минус, то есть C(0,-8).
Для начала найдём векторы сторон,из которых состоит наш четырехугольник:(так как на сайте нет стрелочек над векторами,буду писать слово вектор или сочетание вершин например АВ)
Вектор AB = {-8-(-2);-2-6}={-6;-8}
Вектор BC = {0-8;-8-(-2)}={8;-6}
Вектор CD = {6-0;0-(-8)}={6;8}
Вектор DA = {(-2)-6;6-0)}={-8;6}
Чтобы проверить параллельны ли вектора,они должны быть коллинеарными,то есть отношения их координат должны быть равны одинаковому значению (назовем его k):
AB||CD? -
.Следовательно AB||CD.
BC||DA? -
. Следовательно BC||DA.
Теперь посчитаем длины векторов(Достаточно будет посчитать длины 2-х векторов,так как векторы коллинеарны):
|AB|=
= |CD|
|BC|=
= |DA|
Так как |AB|=10 и |BC|=10, то все четыре стороны равны. Следовательно,учитывая коллинеарность векторов и одинаковые длины, данный четырехугольник является квадратом.