1. ас и вд - диаметры окружностей с центром о. докажите, что а, в, с, д - вершины параллелограмма. 2. в параллелограмме вдеf на сторонах вf и де отложены равные отрезки во и дn. докажите, что четырехугольник оnef также является параллелограммом.
П`ятикутник - це багатокутник, у якого п`ять кутів. П`ятикутники бувають правильними, неправильними, опуклими, увігнутими, зірчастими. Не існу диного обчислення площі п`ятикутників, але легко знайти площу правильного п`ятикутника. Ця стаття описує два основних обчислення площі правильного п`ятикутника.
Кроки
Частина 1 з 3: Основи
1
Правильні і неправильні п`ятикутники. Правильний п`ятикутник - це п`ятикутник, у якого всі сторони рівними в іншому випадку п`ятикутник називається неправильним.
Правильний п`ятикутник завжди буде опуклим (див. Нижче). Неправильний п`ятикутник може бути і опуклим, і увігнутим.
2
Опуклі і увігнуті п`ятикутники. Опуклий п`ятикутник не має вершин, спрямованих всередину фігури (іншими словами, не має внутрішніх кутів більше 180 градусів). Увігнутий п`ятикутник має вершину, спрямовану всередину фігури (іншими словами, має внутрішній кут більше 180 градусів).
3
Периметр п`ятикутника. Як і у випадку інших геометричних фігур, знайти периметр п`ятикутника легко складіть довжини всіх п`яти сторін.
4
Апофема правильного п`ятикутника. Апофема - відрізок, що з`єднує центр п`ятикутника і середину будь-який з його сторін.
5
Основні тригонометричні функції. Їх треба знати, оскільки площа п`ятикутника можна знайти за до його розбиття на прямокутні трикутники. Існують три основні тригонометричних функції: sin кута = протилежний катет / гіпотенуза- cos кута = прилежащий катет / гіпотенуза- tg кута = протилежний катет / прилежащий катет.
Частина 2 з 3: Обчислення площі п`ятикутника: геометрія
1
Розбийте п`ятикутник на п`ять рівнобедрених трикутників. Потім у кожному трикутнику опустіть висоту (з центру п`ятикутника). Ви отримаєте десять прямокутних трикутників. Запам`ятайте: кожен кут п`ятикутника дорівнює 108 градусам.
Наприклад, знайдіть площа правильного п`ятикутника зі стороною 6 см. Для початку розбийте його так, як показано на малюнку.
2
Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників.
У наведеному прикладі сторона п`ятикутника дорівнює 6 см. Отже, один катет прямокутного трикутника дорівнює 3 см (оскільки висота ділить сторону п`ятикутника навпіл). За до тригонометричних функцій можна обчислити інші сторони. Обчислення показані на малюнку.
3
Обчисліть площу прямокутного трикутника. Площа прямокутного трикутника обчислюється за формулою: А1 = ab / 2.
У наведеному вище прикладі підставте знайдені значення в цю формулу. Обчислення показані на малюнку.
4
Знайдіть площу п`ятикутника. Нагадаємо, що ви розбили п`ятикутник на десять прямокутних трикутників. Таким чином, загальна площа п`ятикутника в десять разів більше площі одного прямокутного трикутника: А = 10 * А1.
У наведеному вище прикладі площа п`ятикутника обчислюється таким чином: А = 10 * А1 = 10 * 3,0321 = 30,3210.
Частина 3 з 3: Обчислення площі п`ятикутника: формула
1
Формула для обчислення площі будь-якого правильного багатокутника: A = Pa / 2, де Р - периметр багатокутника, а - апофема багатокутника.
Наприклад, дано правильний п`ятикутник зі стороною 6 см. Знайдіть його площу.
2
Знайдіть периметр п`ятикутника. Для цього складіть довжини всіх його сторін.
У наведеному вище прикладі: Р = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.
3
Знайдіть апофему п`ятикутника. Якщо ви знаєте сторону багатокутника, то його апофема обчислюється за формулою: а = s / 2tan (180 / n), де s - сторона багатокутника, n - кількість сторін багатокутника.
У наведеному вище прикладі обчислення апофеми показано на малюнку.
4
Обчисліть площу п`ятикутника. Для цього використовуйте основну формулу для обчислення площі п`ятикутника.
У наведеному вище прикладі: А = (30 * 2,0214) / 2 = 30,3210.
Поради
Якщо можливо, обчисліть площа п`ятикутника, використовуючи обидва описаних методу. Потім порівняйте результати, щоб підтвердити правильність відповіді.
Теорема о свойствах отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма: Данные отрезки делятся точкой пересечения диагоналей параллелограмма пополам.
Доказательство: пусть АВСD - данный параллелограмм и EF - прямая, пересекающая параллельные стороны AD и ВС. Треугольники ВОЕ и FOD равны по второму признаку (стороне и двум прилежащим углам). В этих треугольниках:
ВО = ОD, так как О - середина диагонали АС,
Углы при вершине О равны, как вертикальные, а углы BOE и FOD равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных АС и ВС и секущей BD. Из равенства треугольников следует равенство сторон: OE = OF, что и требовалось доказать.
П`ятикутник - це багатокутник, у якого п`ять кутів. П`ятикутники бувають правильними, неправильними, опуклими, увігнутими, зірчастими. Не існу диного обчислення площі п`ятикутників, але легко знайти площу правильного п`ятикутника. Ця стаття описує два основних обчислення площі правильного п`ятикутника.
Кроки
Частина 1 з 3: Основи
1
Правильні і неправильні п`ятикутники. Правильний п`ятикутник - це п`ятикутник, у якого всі сторони рівними в іншому випадку п`ятикутник називається неправильним.
Правильний п`ятикутник завжди буде опуклим (див. Нижче). Неправильний п`ятикутник може бути і опуклим, і увігнутим.
2
Опуклі і увігнуті п`ятикутники. Опуклий п`ятикутник не має вершин, спрямованих всередину фігури (іншими словами, не має внутрішніх кутів більше 180 градусів). Увігнутий п`ятикутник має вершину, спрямовану всередину фігури (іншими словами, має внутрішній кут більше 180 градусів).
3
Периметр п`ятикутника. Як і у випадку інших геометричних фігур, знайти периметр п`ятикутника легко складіть довжини всіх п`яти сторін.
4
Апофема правильного п`ятикутника. Апофема - відрізок, що з`єднує центр п`ятикутника і середину будь-який з його сторін.
5
Основні тригонометричні функції. Їх треба знати, оскільки площа п`ятикутника можна знайти за до його розбиття на прямокутні трикутники. Існують три основні тригонометричних функції: sin кута = протилежний катет / гіпотенуза- cos кута = прилежащий катет / гіпотенуза- tg кута = протилежний катет / прилежащий катет.
Частина 2 з 3: Обчислення площі п`ятикутника: геометрія
1
Розбийте п`ятикутник на п`ять рівнобедрених трикутників. Потім у кожному трикутнику опустіть висоту (з центру п`ятикутника). Ви отримаєте десять прямокутних трикутників. Запам`ятайте: кожен кут п`ятикутника дорівнює 108 градусам.
Наприклад, знайдіть площа правильного п`ятикутника зі стороною 6 см. Для початку розбийте його так, як показано на малюнку.
2
Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників.
У наведеному прикладі сторона п`ятикутника дорівнює 6 см. Отже, один катет прямокутного трикутника дорівнює 3 см (оскільки висота ділить сторону п`ятикутника навпіл). За до тригонометричних функцій можна обчислити інші сторони. Обчислення показані на малюнку.
3
Обчисліть площу прямокутного трикутника. Площа прямокутного трикутника обчислюється за формулою: А1 = ab / 2.
У наведеному вище прикладі підставте знайдені значення в цю формулу. Обчислення показані на малюнку.
4
Знайдіть площу п`ятикутника. Нагадаємо, що ви розбили п`ятикутник на десять прямокутних трикутників. Таким чином, загальна площа п`ятикутника в десять разів більше площі одного прямокутного трикутника: А = 10 * А1.
У наведеному вище прикладі площа п`ятикутника обчислюється таким чином: А = 10 * А1 = 10 * 3,0321 = 30,3210.
Частина 3 з 3: Обчислення площі п`ятикутника: формула
1
Формула для обчислення площі будь-якого правильного багатокутника: A = Pa / 2, де Р - периметр багатокутника, а - апофема багатокутника.
Наприклад, дано правильний п`ятикутник зі стороною 6 см. Знайдіть його площу.
2
Знайдіть периметр п`ятикутника. Для цього складіть довжини всіх його сторін.
У наведеному вище прикладі: Р = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.
3
Знайдіть апофему п`ятикутника. Якщо ви знаєте сторону багатокутника, то його апофема обчислюється за формулою: а = s / 2tan (180 / n), де s - сторона багатокутника, n - кількість сторін багатокутника.
У наведеному вище прикладі обчислення апофеми показано на малюнку.
4
Обчисліть площу п`ятикутника. Для цього використовуйте основну формулу для обчислення площі п`ятикутника.
У наведеному вище прикладі: А = (30 * 2,0214) / 2 = 30,3210.
Поради
Якщо можливо, обчисліть площа п`ятикутника, використовуючи обидва описаних методу. Потім порівняйте результати, щоб підтвердити правильність відповіді.
См. рис.1
Так как ABCD - параллелограмм, то: AO = OC; BO = OD.
По теореме о свойствах отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма: OP = OM и OK = ON.
Так как ∠BOP = ∠MOD и ∠BON = ∠KOD, как вертикальные, то:
ΔВОР = ΔMOD по 1-му признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), то BP = MD = 7 см.
ΔBON = ΔDOK по тому же 1-му признаку равенства треугольников. Следовательно: BN = KD = 6 см.
Периметр параллелограмма АВСD:
Р = 2*(AB + AD) = 2*(16+6 + 18+7) = 2 * 47 = 94 (см)
-------------------------------
См. рис.2
Теорема о свойствах отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма: Данные отрезки делятся точкой пересечения диагоналей параллелограмма пополам.
Доказательство: пусть АВСD - данный параллелограмм и EF - прямая, пересекающая параллельные стороны AD и ВС. Треугольники ВОЕ и FOD равны по второму признаку (стороне и двум прилежащим углам). В этих треугольниках:
ВО = ОD, так как О - середина диагонали АС,
Углы при вершине О равны, как вертикальные, а углы BOE и FOD равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных АС и ВС и секущей BD. Из равенства треугольников следует равенство сторон: OE = OF, что и требовалось доказать.