1.9. Дөңес төртбұрыштың бір бұрышы өзге үш бұрышының қо- сындысынан артық болуы мүмкін бе? Жауаптарыңды негіздеңдер. 1.10. Дөңес төртбұрыштың: 1) кiшi бұрышы 90°-тан артық; 2) үл- кен бұрышы 90°-тан кем болуы мүмкін бе? Жауаптарыңды негіалғН
P=16 см Угол ABC=120° Т.к все стороны ромба равны, то AB=BC=CD=DA=P/4=16/4=4 см Угол BCD=60°(т.к (360°-120°-120°):2=60° по сумме углов четырёхугольника) Т.к диагонали ромба являются и биссектрисами, то Угол ABD= Угол DBC = Угол CDB = Угол BDA = 120°/2=60° Треугольник BOC= Треугольник COD= Треугольник ODA=Треугольник OBA (по стороне и двум прилежащим к ней углам) Рассмотрим Треугольник BOC: Он прямоугольный, т.к диагонали ромба взаимноперпендикулярны Т.к OC - биссектриса угла BCD, то Угол BCO=60°/2=30° Катет, лежащий против Угла 30°, равен половине гипотенузы BO=BC/2=4/2=2 см Воспользуемся теоремой Пифагора c²=a²+b² BC²=BO²+OC² 4²=2²+OC² OC²=16-4 OC²=12 OC= Т.к диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то BD=2*BO=2*2=4 CA=2*CO=2*= ответ: Диагонали равны 4 см и см
Угол ABC=120°
Т.к все стороны ромба равны, то
AB=BC=CD=DA=P/4=16/4=4 см
Угол BCD=60°(т.к (360°-120°-120°):2=60° по сумме углов четырёхугольника)
Т.к диагонали ромба являются и биссектрисами, то
Угол ABD= Угол DBC = Угол CDB = Угол BDA = 120°/2=60°
Треугольник BOC= Треугольник COD= Треугольник ODA=Треугольник OBA (по стороне и двум прилежащим к ней углам)
Рассмотрим Треугольник BOC:
Он прямоугольный, т.к диагонали ромба взаимноперпендикулярны
Т.к OC - биссектриса угла BCD, то Угол BCO=60°/2=30°
Катет, лежащий против Угла 30°, равен половине гипотенузы
BO=BC/2=4/2=2 см
Воспользуемся теоремой Пифагора
c²=a²+b²
BC²=BO²+OC²
4²=2²+OC²
OC²=16-4
OC²=12
OC=
Т.к диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то
BD=2*BO=2*2=4
CA=2*CO=2*
ответ: Диагонали равны 4 см и
второй катет = х
гипотенуза = √(a^2 + x^2)
Если катет разделить на гипотенузу, то получим синус противолежащего угла
х/√(a^2 + x^2) = Sin 18
Осталось вычислить Sin18 без таблиц.
Посмотри, какой тут есть ход:
Sin 18 -?
Sin 3·18 = Sin 54 = Sin(90 - 36) = Cos 36
(синус тройного угла равен косинусу двойного.
Есть формула синуса тройного угла : Sin 3a = 3Sina - 4Sin^3 a.
Есть формула косинуса двойного угла: Cos 2a = 1 - Sin^2 a)
3Sin 18 - 4Sin^3 18 = 1 - Sin^2 18,
3Sin 18 - 4Sin^3 a -1 + Sin^2 18 = 0
Обозначим Sin 18 = t, получим 4 t^3 - 2t^2 - 3t +1 = 0/ Решаем его.
4t^3 - 4t^2 +2t^2 -3t +1 =0 (Группируем первые 2 слагаемых и остальные)
4 t^2(t - 1) + (t -1)(2t -1) = 0
(t -1)(4t^2 +2t -1) = 0
t - 1 = 0 или 4 t^2 +2t -1 = 0
t =1 t = (-1 + √5)/4 t = ( -1 - √5)/4
Первый и третий корни не подходят. Значит t = (√5 -1)/4
Sin 18 = (√5 -1)/4
Теперь ищем неизвестный катет.
х / √(a^2 + x^2) = (√5 - 1) / 4
осталось решить это уравнение.
x^2 /( a^2 + x^2) = (5 - 2√5 +1)/16
16x^2 = (6 - 2√5)( a^2 +x^2)
16 x^2 -(6 -2√5)x^2 = (6 - 2√5) ·a^2
x^2 ( 16 -6 + 2√5) = (6 - 2√5) ·a^2
x^2 = (6 - 2√5) ·a^2 / (10 + 2√5)
Осталось корень записать и подставить а = 9,1