olaseve2007ls

17.07.2021 17:06 •  Геометрия

1.(4.1.) В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 осно-
вание ABCD —квадрат. Точка M —центр боковой грани BCC1B1.
а) Докажите, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в отноше-
нии 2 : 1, считая от точки A.
б) Найдите расстояние от точки M до прямой BD1, если сторона
основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 3.
2.(4.10.) Основание шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1—
правильный шестиугольник ABCDEF c центром O. Отрезок OA1 —вы-
сота призмы.
а) Докажите, что плоскость FF1E перпендикулярна плоскости ос-
нования призмы.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости BCC1, если сторона
основания призмы равна 2√3.
3.(4.16.) Боковые рёбра пирамиды SABC с вершиной S попарно пер-
пендикулярны, M —произвольная точка на ребре BC.
а) Докажите, что плоскости AMS и BSC перпендикулярны.
б) Высота SH пирамиды равна 12. Прямая AH пересекает ребро BC
в точке K. Найдите расстояние от точки K до прямой AS, если AS=20.
4.(4.19.) Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1—равные ромбы,
причём плоские углы при вершине C —острые.
а) Докажите, что AA1 ⊥BD.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости A1B1C1, если
плоские углы при вершине C равны 60◦, а AA1=√6.
5.( 4.24). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона ос-
нования AB равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD
и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM =DN =4
и AK =3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.