1 - 2 уровень (с рисунком, дано, найти, решение, ответ)
1) Развернутый угол разделен в отношении 5 : 13. Найти градусные меры полученных углов. (2б)
2) В треугольнике АВС известны две стороны: АВ = 10 см и ВС = 12 см. Доказать, что при АС = 10 см угол В= углу С. (2б)
3) Середина К хорды АВ соединена с центром О окружности. найти углы треугольника АОК, если угол АОВ=106 градусов. (2б)
3 уровень. (рисунок, дано, найти, решение, ответ)
4) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса СD. найти углы треугольника ADC, если угол АВС = 80 градусов. (2б)
5) Докажите, что если через середину хорды проведен диаметр, а через его концы - касательные к окружности, то хорда будет параллельна касательным. (2б)
4 уровень (Рисунок, дано, найти, решение, ответ)
6) В четырехугольнике MNKL вписана окружность. Найдите периметр этого четырехугольника, если известно, что MN = 3 м и KL = 2,5 м. (2б)
Объяснение:
Проекция ребра SA на плоскость будет OA (SO ┴ (ABCDEF) и равна радиусу описанной около основания (здесь правильного шестиугольника) , что свою очередь равна сторону шестиугольника a₆ = R =acosα ; SO =H =asinα .
Vпир =1/3*Sосн*H =1/3*6*√3/4*(acosα)²*asinα =(√3/2)*cos²α*sinα*a³ .
При α=60° ; a= 2 получаем : Vпир = (√3/2)*1/4*(√3/2*8 =3/2.
Апофема пирамиды является образующий конуса
Vкон =1/3*π*r² *H
r = (√3/2)*R =(√3/2)*acosα.
Vкон =1/3*π*((√3/2)*acosα)*asinα =.(π/4)*cos²α*sinα*a³ .
Получилось Vкон = ( π/2√3) *Vпир .
При α=60° ; a= 2 получаем : Vкон =( π/2√3)*3/2 =π√3/6.
L =√(a² - (R/2)² =√(a² -(1/2*acosα)²) =a/2*√(4 - cos²α) ;
Дана окружность с центром О и её диаметры AB и CD. Определи периметр треугольника AOD, если CB — 14 см, AB — 60 см.
Объяснение:
Рассмотрим ∆АОD и ∆СОВ. ОА = ОВ = СО = OD (радиусы одной окружности), углы СОВ и АOD равны, так как вертикальные, тогда ∆АОD = ∆СОВ по двум сторонам и углу между ними.
CO < CD в два раза, так как радиус меньше диаметра окружности. Поэтому, СО = ОВ = 50 см:2 = 25 см. P∆COB = 25 см+ 25см + 5 см = 55 см = P∆AOD.
1. Все радиусы одной окружности имеют равную длину.
2. AOD = COB.
3. Paod = 55 см.