По ! основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см,10 см и 10 см. каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. найдите площадь полной поверхности.

высота основания H, перпендикулярная 12, равна 8 - там получается прямоугольный тр-к со сторонами 6 8 10 (можно и просто сосчитать). 

Из равенства двугранных углов следует, что вершина пирамиду проецируется в центр вписаной в основание окружности.

Из подобия треугольника, образованного половиной основания, высотой и боковой стороной, и другого, который получится, если из центра вписаной в основание окружности опустить перпендикуляр на боковую сторону, следует, что 

r/(8-r) = 6/10; r = 3; Отсюда апофемы (высоты боковых граней) равны 3*корень2.

Дальше просто считаем площади 4 треугольников и складываем.

Sосн = 12*8/2 = 48

S1 +S2 + S3 = (1/2)*(10+10+12)*3*корень(2) = 48*корень2.

(Кстати, это можно было сразу написать - Sбок = Sосн/cos(Ф) - из за совпадения углов)

ответ 48корень2

ИЛИ 2 ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ 

Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то в основание такой пирамиды можно вписать круг, а высота, опущенная из вершины на основание, падает в центр вписанного в основание круга 
a = 10; b = 10; c = 12 
p = (a + b + c)/2 
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = 48 
r = S/p = 3 
длина каждой апофемы h = r/cos(45) = 3√2 
S(бок) = (1/2)·h·(a + b + c) = 48√2