У початковий момент часу секундна стрілка відстає від хвилинної на кут 1500. Через який найменший час секундна стрілка наздожене хвилинну? Через який найменший час секундна стрілка випередить хвилинну на кут, що дорівнює 900?

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Однако этот закон сохранения верен и в случаях, когда ньютоновская механика неприменима (релятивистская физика, квантовая механика) .
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства.

Если бы никакого препятствия в виде стены не было, то уравнения движения маятника для угла и двух его производных от времени выглядело бы так:

φ = Φcosωt (Φ – начальное и максимальное значение угла отклонения) ;
φ' = –Φωsinωt ;
φ'' = –Φω²cosωt ;

В нашем случае, во время столкновения – всё пойдёт немного не так, но поскольку вне стены маятник предоставлен сам себе, а после упругого столкновения полная энергия, а значит и амплитуда колебаний сохраняется, то вне стены он будет продолжать колебаться как маятник. Уравнение движения в таком случае можно записать так:

φ = Φcosδ ;
φ' = –Φωsinδ ;
φ'' = –Φω²cosδ ;

Где внутренний гармонический параметр δ – или «фаза» будет уже зависеть от времени не просто линейно, а как-то сложнее. Разберёмся с этим.

До первого столкновения со стенкой колебание не отличается от обычного гармонического, а значит δ = ωt ;

Не указано, как сориентирована стенка, т.е. идёт ли она круто под наклоном, так что свободно мятник на ней просто лежит, или же стенка вообще отвесная, и маятник может висеть рядом с ней вертикально. Так что величина угла столкновения может быть, как Φ/2, так и –Φ/2 (для отвесной стенки):

Итак, когда грузик достигнет стены: φ = ±Φ/2, получаем:

±Φ/2 = Φcosδн ;

cosδн = ±1/2 ;

δн+ = π/3     – фаза начала удара для крутой стенки, на которой свободный маятник лежит;

δн– = 2π/3     – фаза начала удара для отвесной стенки с возможностью вертикального провисания;

После удара об стену, грузик изменит свою угловую скорость φ' – на противоположную, а отклонение φ и ускорение φ'' (определяемое только отклонением φ) останется таким же. При этом произойдёт какой-то скачок «фазы» δ, с фазы начала удара δн до фазы конца удара δк

φ(δк) = φ(δн) ;
φ'(δк)=–φ'(δн) ;
φ''(δк) = φ''(δн) ;

cosδк = cosδн ;
–sinδк = sinδн ;
–cosδк = –cosδн ;

cosδк = cos[–δн] ;
–sinδк = –sin[–δн] ;
δк = –δн ;

Учитывая фазу начала удара, получаем фазу окончания удара:

δк+ = –π/3     – фаза окончания удара для крутой стенки, на которой свободный маятник лежит;

δк– = –2π/3     – фаза окончания удара для отвесной стенки с возможностью вертикального провисания;

Рассмотрим первый случай крутой стенки, где фаза при ударе делает скачок от δн+ = π/3 до δк+ = –π/3 .

После скачка фазы с π/3 до –π/3 опять будет происходить обычное колебание до фазы π/3 начала следующего удара.

Есть прекрасная функция, которая монотонно растёт, а потом срывается вниз и опять проходит те же значения каждый отрезок длиной в π. Это функция тангенса. Только она растён НЕ на интервале ( –π/3 ; π/3 ), а на в 1.5 раза более широком. Ок. Сузим интервал внутеренним аргументным коэффициентом и возьмём от этого всего уже не периодический арктангенс. Тогда получится, что:
δ = [2/3] arctg tg ( [3/2] ωt ), в самом деле:

От ωt=0 нуля до ωt=π/3 функция δ = [2/3] arctg tg ( [3/2] ωt ) = ωt ,

Затем происходит скачок и [2/3] arctg даёт уже значения фазы на на [2/3] π меньшие, что как раз соответствует необходимому скачку.

Тогда уравнение колебания данной системы можно записать, как:

φ+ = Φcos ( [2/3] arctg tg ( [3/2] ωt ) ) ;

Аналогично можно показать, что для отвесной стены уравнение запишется, как:

φ– = Φcos ( [4/3] arctg tg ( [3/4] ωt ) ) ;

Смотрите иллюстрацию:

Период в обоих случаях определяется внутренней периодической функцией тангенса:

ОТВЕТ:

T+ = π/([3/2]ω) = [2π/3] √[L/g]     – для крутой стенки, на которой свободный маятник лежит;

T– = π/([3/4]ω) = [4π/3] √[L/g]     – для отвесной стенки с возможностью вертикального провисания.