Нам требуется найти полное ускорение точки, которое является геометрической суммой её нормального ускорения и тангенциального ускорения:
а = √(а_n² + а_τ²)
Для того, чтобы найти а_n и а_τ, предполагается, что известно расстояние R от точки до центра диска, т.к.:
а_n = υ²/R
a_τ = ε*R
Но мы можем воспользоваться формулой линейной скорости υ точки:
υ = ω*R => R = υ/ω
ω - это угловая скорость вращения точки, и она нам тоже известна, т.к.:
ω = Δφ/Δt
Δφ = φ2 - φ1
Δt = t2 - t1
Теперь кое-какие пояснения по поводу того, почему величины Δφ и Δt известны:
По условиям диск в начальный момент покоится. Затем он начинает вращаться, и вращение его точек происходит с ускорением. Причём ускорение это угловое - ε.
На самом деле зависимость, которая дана в условиях, аналогична зависимости из прямолинейного равноускоренного движения:
φ = Аt²
s = at²/2
Всё то же самое, только вместо линейного перемещения у нас угловое, и вместо линейного ускорения - тоже угловое. Надо только преобразовать зависимость φ от t, чтобы аналогия была более очевидной:
φ = Аt² = εt²/2
Значит, угловое ускорение равно:
Аt² = εt²/2 | : t²
A = ε/2
ε = 2Α
Т.к. в начальный момент диск покоится, то угол его поворота равен нулю (это по аналогии с линейным перемещением - в начальный момент движения перемещение равно нулю):
φ1 = 0
Следовательно, изменение угла равно углу поворота через время Δt = t2 - t1, где t1 = 0 (т.к. начало движения диска происходит в начальный момент времени):
Δφ = φ2 - φ1 = φ2 - 0 = φ2, и значит угловая скорость в момент времени t2 равна:
ω = φ2/t2, где t2 = t по условиям задачи, а φ2 = φ = Аt² по условиям задачи, т.е.:
ω = φ/t = At²/t = At
Теперь возвращаемся к выражению для R:
R = υ/ω = υ/(Αt)
Всё необходимое у нас есть, теперь мы можем подставить в формулы для нормального и тангенциального ускорений выражение расстояния R и решить задачу:
Обозначим массу более тяжелой обезьяны через М, более легкой через m. Пусть более легкая обезьяна в начальный момент времени находилась на расстоянии h от оси блока. На обезьяну массой M действуют сила тяжести Mg и сила натяжения нити T. Так как обезьяна карабкается так, что все время остается на одной высоте, то она покоится относительно Земли, то есть ее ускорение относительно Земли равно нулю. Запишем второй закон Ньютона для ее движения: T - Mg = Ma = 0. Отсюда T = Mg. Для обезьяны массой m уравнение движения будет: T - mg = ma. Подставляя сюда выражение для T, получим: Mg - mg = ma, откуда a = g(M - m)/m. В начальный момент скорость обезьяны массой m нулевая. Тогда, в силу того, что ее движение равноускоренное, можем записать: h = at²/2. Отсюда t² = 2h/a = 2hm/g(M - m) и окончательно t = √2hm/g(M - m) = √664/49 ≈ √13,5 ≈ 3,7 секунд.
Дано:
φ = Αt²
A = 0,5 рад/с²
t = 2 c
υ = 2 м/с
а - ?
Нам требуется найти полное ускорение точки, которое является геометрической суммой её нормального ускорения и тангенциального ускорения:
а = √(а_n² + а_τ²)
Для того, чтобы найти а_n и а_τ, предполагается, что известно расстояние R от точки до центра диска, т.к.:
а_n = υ²/R
a_τ = ε*R
Но мы можем воспользоваться формулой линейной скорости υ точки:
υ = ω*R => R = υ/ω
ω - это угловая скорость вращения точки, и она нам тоже известна, т.к.:
ω = Δφ/Δt
Δφ = φ2 - φ1
Δt = t2 - t1
Теперь кое-какие пояснения по поводу того, почему величины Δφ и Δt известны:
По условиям диск в начальный момент покоится. Затем он начинает вращаться, и вращение его точек происходит с ускорением. Причём ускорение это угловое - ε.
На самом деле зависимость, которая дана в условиях, аналогична зависимости из прямолинейного равноускоренного движения:
φ = Аt²
s = at²/2
Всё то же самое, только вместо линейного перемещения у нас угловое, и вместо линейного ускорения - тоже угловое. Надо только преобразовать зависимость φ от t, чтобы аналогия была более очевидной:
φ = Аt² = εt²/2
Значит, угловое ускорение равно:
Аt² = εt²/2 | : t²
A = ε/2
ε = 2Α
Т.к. в начальный момент диск покоится, то угол его поворота равен нулю (это по аналогии с линейным перемещением - в начальный момент движения перемещение равно нулю):
φ1 = 0
Следовательно, изменение угла равно углу поворота через время Δt = t2 - t1, где t1 = 0 (т.к. начало движения диска происходит в начальный момент времени):
Δφ = φ2 - φ1 = φ2 - 0 = φ2, и значит угловая скорость в момент времени t2 равна:
ω = φ2/t2, где t2 = t по условиям задачи, а φ2 = φ = Аt² по условиям задачи, т.е.:
ω = φ/t = At²/t = At
Теперь возвращаемся к выражению для R:
R = υ/ω = υ/(Αt)
Всё необходимое у нас есть, теперь мы можем подставить в формулы для нормального и тангенциального ускорений выражение расстояния R и решить задачу:
а_n = υ²/R = υ²/(υ/Αt) = υAt
a_τ = ε*R = 2A*(υ/Αt) = 2υ/t
а = √(а_n² + а_τ²) = √(υ²Α²t² + 2²υ²/t²) = √(υ²(Α²t² + 2²/t²)) = υ*√(Α²t² + 2²/t²) = 2*√(0,5²*2² + 2²/2²) = 2*√(0,25*4 + 1) = 2*√2 = 2*1,41 = 2,82 м/с²
ответ: примерно 2,82 м/с².
Обозначим массу более тяжелой обезьяны через М, более легкой через m. Пусть более легкая обезьяна в начальный момент времени находилась на расстоянии h от оси блока. На обезьяну массой M действуют сила тяжести Mg и сила натяжения нити T. Так как обезьяна карабкается так, что все время остается на одной высоте, то она покоится относительно Земли, то есть ее ускорение относительно Земли равно нулю. Запишем второй закон Ньютона для ее движения: T - Mg = Ma = 0. Отсюда T = Mg. Для обезьяны массой m уравнение движения будет: T - mg = ma. Подставляя сюда выражение для T, получим: Mg - mg = ma, откуда a = g(M - m)/m. В начальный момент скорость обезьяны массой m нулевая. Тогда, в силу того, что ее движение равноускоренное, можем записать: h = at²/2. Отсюда t² = 2h/a = 2hm/g(M - m) и окончательно t = √2hm/g(M - m) = √664/49 ≈ √13,5 ≈ 3,7 секунд.
ответ: 3,7 секунд.