Если масса цепи: m, то масса свисающей части: m x /L,
масса лежащей на столе части: m (1 - x / L)
1) Часть, лежащая на столе:
Если силы трения нет, то на ту часть цепи, что еще на столе, по вертикали действуют сила тяжести и сила реакции опоры, что уравновешивают друг друга.
По горизонтали на границу этой части действует горизонтальная сила, стягивающая ее со стола. Уравнение движения (проекция на горизонтальное направление):
m (1 - x / L) a1 = T
a - горизонтальное ускорение части, лежащей на столе.
T - сила, с которой тянет настольную часть цепи ее свисающая часть.
2) Часть, свисающая вниз.
На нее действуют силы в горизонтальном направлении. В вертикальном направлении вниз действует сила тяжести:
m (x / L) g
И вверх действует сила T, с которой противодействует стягиванию остальная часть цепи. Тогда уравнение движения (проекция на вертикальное направление):
m (x / L) a2 = m (x / L) g - T
3) Помимо пренебрежения трением, принимаем еще допущение о том, что горизонтальная скорость части цепи, лежащей на столе, не достаточно велика, чтобы цепь перестала свисать, прижимаясь к углу стола. Тогда проекции ускорений a1 и a2 равны:
a = x''(t)
4) Тогда получаем два уравнения с двумя неизвестными:
m (1 - x / L) x '' = T
m (x / L) x'' = m g (x / L) - T
Исключаем из уравнения T:
m (x / L) x'' = m g (x / L) - m (1 - x / L) x''
Или:
x '' = (g / L) x
Представим скорость в виде:
x'(t) = v(t) = v(x(t))
Тогда:
x''(t) = dv/dt = (dv/dx) (dx/dt) = v (dv/dx)
Тогда уравнение примет вид:
v (dv/dx) = (g / L) x
Разделяем переменные:
v dv = (g / L) x dx
Умножаем на 2 и интегрируем:
v^2 = Const + (g / L) x^2
Избавляемся от квадрата слева:
v = sqrt[g/L] sqrt(C + x^2)
(выбран знак +, поскольку x увеличивается, и dx/dt = v > 0)
При t = 0, когда x равен своему известному начальному значению (обозначим x0), цепь покоится, что есть dx/dt = v = 0, тогда:
Любовь – это место, в котором тебя самого нет вообще, нет ни капельки, а есть – только тот, кого любишь.Меня поразило, когда узнал, что слово «свобода» своими английскими и немецкими корнями уходит в древне-санскритские слова «любить», «быть любимым»… Вот так носители исчезнувшего языка понимали, что есть предельная свобода – это свобода от себя самого – то есть как раз любовь. Вся прочая «свобода» – всё равно ввергает в кучу разных несвобод – потому что много хочется и уже от всего того, что хочется, очень зависишь.Митрополит Антоний Сурожский, которого я обожаю, рассказывал, как однажды к нему привели мальчика – он был не в себе, сумасшедший, и родители мальчика сказали владыке Антонию: «Понимаете, умер его папа, а он не верит. Ему много раз объясняли, а он не верит». И Сурожский вместо того, чтобы убеждать мальчика, спросил его: «Почему ты, когда люди говорят тебе, что видели, как отца хоронят, утверждаешь, что он всё же не умер»? А он ответил: «Он не умер, потому что никогда не жил».Отец мальчика не жил, потому что вся его жизнь была подчинена быту, заботам по дому, телевизору, работе, успехам на ней…Иногда я себя спрашиваю, когда в своей жизни я переживал Царствие Небесное, когда я был очень-очень счастлив, когда я ЖИЛ, что это были за моменты? И я отвечаю себе, что это было тогда, когда я умел забыть себя, когда целиком переносился в другого человека. Это и было жизнью. Это – я любил.В отличие от человека, который то живёт, то просто существует, мир вокруг, кажется всегда, живёт. Воздух, дерево, небо – обладают такой цельностью, такой интенсивностью жизни, они ведь, никогда ничего не откладывают на потом, они всегда присутствуют здесь, сейчас, целиком…
Пусть длина цепи: L
Пусть длина свисающей части: x
Тогда длина части, оставшейся на столе: L - x
Если масса цепи: m, то масса свисающей части: m x /L,
масса лежащей на столе части: m (1 - x / L)
1) Часть, лежащая на столе:
Если силы трения нет, то на ту часть цепи, что еще на столе, по вертикали действуют сила тяжести и сила реакции опоры, что уравновешивают друг друга.
По горизонтали на границу этой части действует горизонтальная сила, стягивающая ее со стола. Уравнение движения (проекция на горизонтальное направление):
m (1 - x / L) a1 = T
a - горизонтальное ускорение части, лежащей на столе.
T - сила, с которой тянет настольную часть цепи ее свисающая часть.
2) Часть, свисающая вниз.
На нее действуют силы в горизонтальном направлении. В вертикальном направлении вниз действует сила тяжести:
m (x / L) g
И вверх действует сила T, с которой противодействует стягиванию остальная часть цепи. Тогда уравнение движения (проекция на вертикальное направление):
m (x / L) a2 = m (x / L) g - T
3) Помимо пренебрежения трением, принимаем еще допущение о том, что горизонтальная скорость части цепи, лежащей на столе, не достаточно велика, чтобы цепь перестала свисать, прижимаясь к углу стола. Тогда проекции ускорений a1 и a2 равны:
a = x''(t)
4) Тогда получаем два уравнения с двумя неизвестными:
m (1 - x / L) x '' = T
m (x / L) x'' = m g (x / L) - T
Исключаем из уравнения T:
m (x / L) x'' = m g (x / L) - m (1 - x / L) x''
Или:
x '' = (g / L) x
Представим скорость в виде:
x'(t) = v(t) = v(x(t))
Тогда:
x''(t) = dv/dt = (dv/dx) (dx/dt) = v (dv/dx)
Тогда уравнение примет вид:
v (dv/dx) = (g / L) x
Разделяем переменные:
v dv = (g / L) x dx
Умножаем на 2 и интегрируем:
v^2 = Const + (g / L) x^2
Избавляемся от квадрата слева:
v = sqrt[g/L] sqrt(C + x^2)
(выбран знак +, поскольку x увеличивается, и dx/dt = v > 0)
При t = 0, когда x равен своему известному начальному значению (обозначим x0), цепь покоится, что есть dx/dt = v = 0, тогда:
0 = sqrt[g/L] sqrt(C + x0^2)
То есть: C = - x0^2, тогда:
v = sqr[g/L] sqrt(x^2 - x0^2)
или:
dx/dt = sqrt[g/L] sqrt(x^2 - x0^2)
Разделим переменные:
dx / sqrt(x^2 - x0^2) = sqrt[g/L] dt
Интегрируем:
arcch(x / x0) = sqrt[g/L] t + C
При t = 0, x = x0:
arcch(1) = C
Получаем:
arcch(x / x0) = arcch(1) + sqrt[g/L] t
От сюда выражаем t:
t = sqrt[L/g] { arcch(x / x0) - arcch(1) }
t = sqrt[L/g] { arcch(L / x0) - arcch(1) }
L = 6(м), x0 = 1(м)